Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

7.6. Каждое из подкоренных выражений является полным квадратом.

7.7. Обратить внимание на то, что

9 + 4√2 = 8 + 4√2 + 1 = (2√2 + 1)².

7.8. Каждую из вторых скобок разбить на два слагаемых x² − u² и z² − у², после чего собрать все члены, содержащие множитель x² − u², и все члены, содержащие z² − у². (!)

7.9. Если обозначить левую часть через z, то, освобождаясь от радикалов, можно получить уравнение относительно z.

7.10. Равенство, которое нужно доказать, представляет собой однородное выражение седьмой степени. Возвести в степень

а + b + с = 0    и    а + b = −с.

7.11. Задача сводится к разбору случаев, позволяющих раскрыть знаки абсолютной величины. Количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, если заметить, что равенство, о котором идет речь, не меняется при замене x на −x.

7.12. Можно разобрать различные случаи взаимного расположения чисел x, у и 0. Однако проще возвести каждую часть в квадрат. Так как обе части неотрицательны, то мы получим равенство, равносильное данному. (!)

7.13. Условие можно записать в виде а⅓ + b⅓ = −с⅓ и возвести это соотношение в куб.

7.14. Данный трехчлен тождественно равен выражению

(ax + b)³ − (сх + d)³,    где    а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.

K главе 8

8.1. Поскольку выражения, стоящие в скобках, расположены симметрично относительно значения x = 5, удобно ввести новое неизвестное у = x − 5. После того как мы раскроем скобки, произойдут значительные упрощения. (!)

8.2. Можно перемножить скобки по две, чтобы получить квадратные трехчлены, отличающиеся только свободным членом.

8.3. Если записать уравнение в виде x² − 17 = 3у², то возникает мысль доказать, что левая часть ни при каких целых x не делится на 3. (!)

8.4. Если целое у зафиксировать, то получим квадратное уравнение относительно x. Поэтому естественно обратить внимание на те ограничения, которые накладывает на у условие неотрицательности дискриминанта этого уравнения. (!)

8.5. Остаток следует искать в виде аx + b, а частное удобно обозначить через Q(x). Следуя определению деления, записать тождество.

8.6. Если переписать уравнение в виде

то благодаря условию целочисленности решений можно ограничить возможные значения у рассмотрением нескольких случаев.

8.7. Если подставить известный корень в уравнение, найти коэффициенты при рациональной и иррациональной частях, то получим систему двух уравнений для определения а и b.

8.8. Ответьте на вопрос: достаточно ли воспользоваться теоремой Виета, в силу которой свободный член и второй коэффициент должны быть положительными?

8.9. Если обозначить первый корень через x1, а знаменатель прогрессии через q, то останется применить теорему Виета. (!)

8.10. С помощью теоремы Виета получить зависимость между α1, α2, α3 и коэффициентами данного уравнения. (!)

8.11. Разделить x³ + аx + 1 на x − α по правилу деления многочлена на двучлен.

8.12. Ясно, что остаток нужно искать в виде аx + b. Если данный многочлен обозначить через P(x), а частное от его деления на (x − 2)(x − 3) — через Q(x), то мы сможем воспользоваться определением деления многочленов.

8.13. Если многочлен x4 + 1 разделится на x² + рx + q, то в частном мы получим многочлен второй степени, т. е. x² + аx + b.

8.14. Если данный многочлен делится на (x − 1)³, то после замены x − 1 = у получим многочлен, который должен делиться на у³.

8.15. Если многочлен четвертой степени с коэффициентом 6 при старшем члене делится на x² − x + q без остатка, то в частном обязательно получится многочлен 6x² + аx + b, в котором а и b определяются одновременно с p и q.

K главе 9

9.1. Точки −2, −1, 0 делят числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых нужно решить данное уравнение. (!)

9.2. Если рассматривать значения x, обращающие в нуль числа, стоящие под знаками абсолютных величин, то придется разбить числовую ось на пять частей.

Удобнее ввести новое неизвестное у = x². (!)

9.3. Это уравнение четвертой степени. Следовательно, нужно найти искусственный прием, приводящий к его решению. Удобно воспользоваться тем, что слева стоит сумма квадратов.

9.4. Возвести в куб и сравнить полученное уравнение с данным.

9.5. Свести уравнение к симметрической системе, обозначив первое слагаемое левой части через u, а второе через v. (!)

9.6. Если под радикалами раскрыть скобки, то получим квадратные трехчлены, отличающиеся лишь свободным членом. Поэтому данное в условии уравнение удобно заменить системой, обозначив первое слагаемое его левой части через u, а второе через v.

9.7. Поскольку неизвестное входит в уравнение либо в сочетании x − b, либо в сочетании а − x, то удобно ввести обозначения   и получить систему алгебраических уравнений.

9.8. Ввести вспомогательное неизвестное у и свести решение данного уравнения к решению системы уравнений относительно x и у.

9.9. Перенести  в правую часть уравнения и возвести обе части в квадрат.

9.10. Чтобы избавиться от знаков абсолютной величины, можно поступить двояко: либо потребовать, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной, и решить уравнения

x² − 3x/2 − 1 = −x² − 4x + β,    x² − 3x/2 − 1 = x² + 4x − β;

либо рассмотреть два случая: в первом выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во втором — отрицательно.

9.11. Рассмотреть различные случаи расположения x и у по отношению к нулю (всего придется рассмотреть четыре случая). (!)

9.12. Решить систему уравнений с параметром k, а затем решить систему неравенств. (!)

9.13. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения чисел x и у и чисел x и −у. Это позволит раскрыть знаки абсолютной величины. (!)

9.14. Второе уравнение — уравнение окружности радиуса √а . Нарисовать кривую, которая определяется первым уравнением.

9.15. Одно решение очевидно: x = у = 0. Если ху ≠ 0, то можно разделить первое уравнение на ху, а второе на x²у².

9.16. Если бы во втором и третьем уравнениях не было коэффициентов 2 и 3, то уравнения системы получались бы друг из друга с помощью циклической перестановки неизвестных x, у и z. Однако влияние коэффициентов оказывается столь сильным, что попытка использовать это свойство системы не приводит к успеху. Попытайтесь преобразовать систему в распадающуюся, для чего потребуется отыскать алгебраическое выражение, общее для двух уравнений, и исключить его.

9.17. Если первое уравнение системы записать в виде x + у = −z и возвести в квадрат, то с помощью второго ее уравнения можно найти ху.

9.18. Сопоставьте первое и последнее уравнения. Если записать их в виде

x + у = 1 − z,    х³ + у³ = 1 − z³,

то напрашивается способ, с помощью которого можно преобразовать систему в распадающуюся.

9.19. Если раскрыть скобки, то получим систему линейных уравнений относительно u = x + у + z, v = ху + xz + yz, w = xyz. Найдя u, v и w, можно вычислить х³ + у³ + z³, если возвести x + у + z = u в куб: u³ = х³ + у³ + z³ + 3uv − 3w.