Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

K главе 4

4.1. Построение сечения, о котором идет речь в задаче, показано на рис. I.4.1. Вначале найдена точка F сечения, лежащая в плоскости нижнего основания на пересечении прямых АЕ и DС.

4.2. Построение сечения показано на рис. I.4.2, который подсказывает и рациональный способ вычисления площади сечения.

4.3. Чтобы построить сечение, проведите прямую через вершину А и центр верхнего основания и найдите точку пересечения этой прямой с ребром СС1.

4.4. Сечение BEFG (рис. I.4.4) разбивает пирамиду на две части. Удобнее найти объем той части пирамиды, которая лежит под сечением, представив эту фигуру в виде разности двух пирамид EBCM и FGDM.

4.5. Сечение должно пройти через точки А, D и N (рис. I.4.5). Если их соединить, то получим пирамиду NACD, которую сечение отрезает от половины данной пирамиды.

4.6. Основную трудность в этой задаче представляет построение сечения. Начните с построения вспомогательного треугольника PQR.

4.7. Связать сечение с перпендикулярной к нему плоскостью центрального сечения пирамиды.

4.8. Чтобы вычислить площадь треугольника ABE, достаточно найти его высоту ЕМ (рис. I.4.8). Высоту B1O призмы нетрудно вычислить, а высота EK пирамиды EABC в два раза меньше B1O.

4.9. Чтобы построить сечение, достаточно провести через точку F два отрезка, лежащих внутри данного параллелепипеда: один в одной диагональной плоскости параллельно BD, а второй в другой диагональной плоскости параллельно AC1.

4.10. Построение тени, отбрасываемой кубом, показано на рис. I.4.10. Посмотрите, как будет изменяться тень при вращении источника света.

4.11. Площадь тени не изменится при произвольном параллельном переносе куба. Поэтому удобно расположить куб так, чтобы по крайней мере одна из его вершин (обозначим ее А) лежала в плоскости Π (рис. I.4.11).

Площадь тени не изменится также и при вращении куба вокруг вертикальной прямой, проходящей через вершину А. Следовательно, для определения положения куба удобно воспользоваться острым углом между плоскостью его нижнего основания и плоскостью Π, который при таком вращении не изменяется.

Задача существенно упростится, если удастся выбрать в кубе простейшую фигуру, составленную из плоских фигур, которая отбрасывает на плоскость Π ту же самую тень.

K главе 5

5.1. Если точка M принадлежит геометрическому месту точек, то отрезок NО виден из нее под прямым углом. (!)

5.2. Если к треугольнику АМВ применить теорему косинусов, то получим еще одно соотношение, связывающее угол АМВ со сторонами треугольника.

5.3. Поскольку характеристики геометрического места точек содержатся в условии задачи, вполне удобно доказать, что любая точка окружности обладает указанным свойством. Для этого следует применить теорему косинусов к стороне МВ треугольника АМВ.

5.4. При любом выборе точки M треугольники АМВ и ВМС имеют общую сторону ВМ. Использовать условие равновеликости двух треугольников, имеющих общую сторону.

5.5. Пусть точка M зафиксирована. Площадь треугольника АВМ не изменится, если отрезок AB двигать по прямой AB. То же самое можно сказать о треугольнике СDМ. Остается рассмотреть два случая: 1) прямые AB и CD пересекаются, 2) прямые AB и CD параллельны.

5.6. Выясните, какую роль играет в задаче куб. Задачу можно разделить на две: вначале решить ту же задачу для прямых, на которых расположены диагонали куба, а затем высечь часть пространства, ограниченную кубом, и проследить, какие при этом произойдут изменения.

K главе 6

6.1. Воспользоваться тождеством p² − 1 = (p − 1)(p + 1).

6.2. Способ 1. Воспользоваться методом математической индукции. (!)

Способ 2. Разбить все числа на классы по модулю 3:

n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k − 1,

и проверить утверждение для каждого класса. (!)

6.3. Поскольку 105 = 3 · 5 · 7, то а105 = (а³)35 = (а5)21 = (а7)15. Воспользуйтесь этим для разложения данного числа на множители.

6.4. Среди чисел от 1 до 500 будет 250 четных, 125 делящихся на 4 и т. д.

6.5. Чтобы данное число приняло более симметричный вид, его удобно умножить на 10. При этом делимость его на 81 не изменится.

6.6. Дополнить выражение n4 + 4 до полного квадрата и разложить на множители.

6.7. Так как по условию n четное, то нужно сделать подстановку n = 2k и привести данное выражение к общему знаменателю.

6.8. Способ 1. Дробь  сократима тогда и только тогда, если ее числитель представим в виде pr, а знаменатель — в виде qr, где p, q и r — целые числа и r ≠ ±1.

Способ 2. Если сократима дробь p/q , то сократима и дробь q/p.

6.9. Использовать сначала признак делимости на 4, а затем признак делимости на 9. (!)

6.10. Если условие, в силу которого число  в три раза меньше  записать символически, то получим уравнение, которое нужно будет решить в целых числах, каждое из которых расположено между 0 и 9.

6.11. Ясно, что число p нечетное. Одно значение p легко угадать — это p = 3. Есть ли другие?

6.12. Задачу удобнее решать от противного, исходя из предположения, что tg 5° = p/q , где p и q — целые.

6.13. Если меньшее из чисел не оканчивается цифрой 9, то суммы цифр этих чисел различаются на 1. Поэтому обе суммы цифр одновременно делиться на 11 не могут. Нужно искать решение среди чисел, меньшее из которых оканчивается одной или несколькими цифрами 9.

6.14. Нужно правильно использовать условие, в силу которого x и у — целые. Однородное выражение относительно неизвестных нужно оставить слева и попытаться разложить на множители, а число 17 перенести в правую часть равенства.

6.15. Данное уравнение таково, что если x = а, у = b — его решение, то существуют еще три решения: (−а, b), (а, −b), (−а, −b), если а ≠ b.

6.16. Преобразовать исходное условие к виду 11(4x − 1) = 69(у − x) и воспользоваться тем, что x и у — натуральные числа.

K главе 7

7.1. Обе двойки представить как 3 − 1 и сгруппировать члены так, чтобы в числителе можно было вынести за скобки n + 1, а в знаменателе n − 1.

7.2. Прежде чем выполнять действия в скобках, следует упростить дроби, разложив числители и знаменатели на множители.

7.3. Перед нами сумма из трех слагаемых. Если первые два привести к общему знаменателю, то в числителе произойдут существенные упрощения.

7.4. Прежде чем производить вычитание, следует упростить дробь.

7.5. Если вынести за скобки х2m, то в скобках останется x в степени, содержащей множителями m − n и 1/mn . Это упростит дальнейшие преобразования. (!)

7.6. Каждое из подкоренных выражений является полным квадратом.

7.7. Обратить внимание на то, что

9 + 4√2 = 8 + 4√2 + 1 = (2√2 + 1)².

7.8. Каждую из вторых скобок разбить на два слагаемых x² − u² и z² − у², после чего собрать все члены, содержащие множитель x² − u², и все члены, содержащие z² − у². (!)

7.9. Если обозначить левую часть через z, то, освобождаясь от радикалов, можно получить уравнение относительно z.