Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи

Верно ли это?

Хотя французский замок известен всем, но устройство его знают лишь немногие. Поэтому часто приходится слышать сомнения в том, чтобы могло существовать большое число различных французских замков и ключей к ним. Достаточно, однако, познакомиться с остроумным механизмом этих замков, чтобы убедиться в возможности разнообразить их в достаточной степени.

Рис. 43-й изображает французский замок, как мы его видим с лица (кстати, – название «французский» совершенно неправильно, так как родина этих замков Америка, а изобретатель их американец Иэль, – почему на всех таких замках и ключах имеется надпись «Yale»). Вы видите вокруг замочной скважины небольшой кружок: это основание валика, проходящего через весь замок. Задача открывания замка заключается в том, чтобы повернуть этот валик, – но в этом-то и вся трудность. Дело в том, что валик удерживается в определенном положении пятью короткими стальными стерженьками (черт. 44). Каждый стерженек в каком-нибудь месте распилен надвое, и только если разместить стерженьки так, чтобы все разрезы приходились на уровне валика, можно будет его повернуть.

Рис. 44. Продольный разрез через французский замок.

Это необходимое расположение придает стерженькам ключ с соответственными выступами на краю: достаточно его вставить, чтобы стерженьки заняли то определенное и единственное расположение, которое необходимо для открытия замка.

Теперь легко понять, что число различных замков этого типа может быть действительно весьма велико. Оно зависит от того, сколькими способами можно разрезать каждый стержень на две части; число это, разумеется, не бесконечно, если принять во внимание ограниченную высоту зубчиков ключа.

Предположите, что каждый стерженек можно разрезать на две части 10-ю способами, и попробуйте сосчитать, сколько же различных французских замков можно при таком условии изготовить?

Задача, которую я вам сейчас предложу, не нова, даже очень не нова. Она общеизвестна, но именно потому я и включил ее в этот сборник головоломок. Ведь книжка моя предназначается не для тех, кто знает все общеизвестное, а для тех, кому это еще должно стать известным.

Итак, пусть вам станет отныне известна старинная легенда о том, какую награду попросил себе древний мудрец Сета у индусского правителя Шерама за то, что придумал шахматную игру. Мудрец просил вознаградить его за изобретение шахматной доски тем, чтобы выдать за первое ее поле всего 1 пшеничное зерно, за второе поле – 2 зерна, за третье – 4, за четвертое – 8 и т. д., удваивая вознаграждение за каждое следующее поле, пока не будут оплачены все 64 поля доски. Что же касается шахматных фигур, то за них мудрец никакой награды не требовал.

Правитель подивился такой скромности и отпустил мудреца, приказав немедленно выдать ему следуемые зерна.

Когда спустя некоторое время правитель осведомился, исполнено ли в точности его приказание, ему в смущении ответили, что требуемая награда не может быть выдана.

– Почему? – спросил правитель.

– Почему? – спросим и мы читателя.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 51-60

Ряд горошин был бы гораздо длиннее стола. Поперечник горошины равен, примерно, от 1/2 до 1/3 сантиметра. Если остановимся на последнем размере, то в кубике с ребром в 1 сантиметр должно умещаться не менее 2x2x2 = 8 горошин [14] ; следовательно, в стакане емкостью 200 куб. сантиметров число горошин должно быть не меньше 1600. Расположив их в один ряд, получим длину 1/2 x 1600 = 800 сантиметров, или 8 метров. Это составляет 4 сажени – расстояние гораздо длиннее любого стола.

Если исходить из размера горошины 1/3 сантиметра, то в куб. сантиметре помещается их не менее 3x3x3 = 27, а в стакане – не менее 27x200 = 5400. Длина ряда из 5400 таких горошин равна 1/3 x 5400 = 1800 сантиметров, или 18 метров – еще больше, чем в случае крупных горошин.

Не только дом, но и иной губернский город можно было бы окружить расположенными в ряд листьями одного дерева, потому что такой ряд тянулся бы верст на десять! В самом деле: на старом дереве не менее 200–300 тысяч листьев. Если остановиться даже на числе 250000 и считать каждый лист шириною в 5 сантиметров, то ряд получается длиною в 1250000 сантиметров, т. е. 12500 метров, или 12 1/2 километров.

Миллион шагов гораздо больше 10 километров, больше даже 100 километров. Если длина шага примерно 3/4 метра, то 1000000 шагов = 750 километров. Так как от Москвы до Ленинграда всего 640 километров, то, сделав от Москвы миллион шагов, вы отошли бы дальше, чем на расстояние до Ленинграда.

В тот же день школьник в этом убедиться не мог, потому что, если бы он даже работал круглые сутки без перерыва, он не пересчитал бы и десятой доли всех клеточек. Действительно, в сутках 24x60x60 = 86400 секунд, а в квадратном метре 1000000 квадр. миллиметров. Понадобилось бы более 11 суток непрерывной работы, чтобы проверить прямым счетом, действительно ли в квадратном метре миллион миллиметровых клеточек. Если же считать по десять часов в сутки, то на подобную проверку понадобилось бы около месяца. Мало у кого достанет терпения выполнить такой счетный подвиг [15] .

Оба ответа далеки от истины, потому что столб получился бы во сто раз выше самой высокой горы на земле. Действительно: в кубическом метре 1000x1000x1000, т. е. миллиард кубических миллиметров. Поставленные один на другой, они образовали бы столб высотою в 1000000000 миллиметров, или 1000000 метров, или 1000 километров!

В одном ящике указанных размеров не только поместятся все люди земного шара, но могло бы поместиться почти втрое больше! Легко вычислить, что если 5 человек занимают объем в 1 куб. метр, то 1800000000 человек заняли бы 360 миллионов кубических метров, – между тем в кубическом километре 1000 миллионов кубических метров.

Волос, если бы был в миллион раз толще, превосходил бы по ширине не только любую печку или комнату, но и почти любое здание, потому что поперечник его равнялся бы 50 метрам!

Действительно, умножим ширину волоса 0,05 мм на 1000000. Получим 50000 мм, или 50 метров.

Такую ширину имела бы, между прочим, и каждая точка типографского шрифта этой книги, если бы она увеличилась в поперечнике в миллион раз. А каждая буква имела бы при подобном увеличении более двух верст в высоту!

Эти неожиданные результаты показывают, что представление наше о миллионе далеко не так отчетливо, как мы обычно думаем.

Число портретов значительно больше тысячи. Сосчитать их можно следующим образом. Обозначим девять частей портретов римскими цифрами I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII и IX; для каждой части имеются 4 полоски, которые мы перенумеруем арабскими цифрами 1, 2, 3, 4.

Возьмем полоску I, 1. Мы можем присоединить к ней полоски II, 1; II, 2; II, 3; II, 4.

Всего, следовательно, здесь возможны 4 сочетания. Но так как часть головы I может быть представлена четырьмя полосками (I, 1; I, 2; I, 3; I, 4) и каждая из них может быть соединена с частью II четырьмя различными способами, то две верхние части головы I и II могут быть соединены 4x4 = 16 различными способами.

К каждому из этих 16 расположений можно присоединить часть III четырьмя способами (III, 1; III, 2; III, 3; III, 4), следовательно, первые три части физиономии могут быть составлены 16x4 = 64 различными способами.

Таким же образом узнаем, что части I, II, III, IV могут быть расположены 64x4 = 256 различными способами; части I, II, III, IV, V – 1024 способами; части I, II, III, IV, V, VI – 4096 способами и т. д.; наконец, все девять частей портрета можно соединить 4x4x4x4x4x4x4x4x4, т. е. 262144 способами.

Итак, из 9 наших брусков возможно составить не 1000, а больше четверти миллиона различных портретов!

Задача весьма поучительна: она объясняет нам, почему так редко встречаются две одинаковые человеческие физиономии. Еще Владимир Мономах в своем «Поучении» изумлялся тому, что при огромном числе людей на свете каждый имеет свое особое лицо. Но мы сейчас убедились, что если бы человеческое лицо характеризовалось всего 9-ю чертами, допускающими каждая всего 4 видоизменения, то могло бы существовать более 260000 различных лиц. В действительности же характерных черт человеческого лица гораздо больше 9, и видоизменяться они могут больше чем 4 способами. Так, при 20 чертах, варьирующих каждая на 10 ладов, мы имеем различных лиц:

10x10x10x10… (20 множителей), т. е.

100000000000000000000.

Это во много раз больше, чем людей во всем мире (1800000000).

Рассуждая подобно тому, как и при решении предыдущей задачи, нетрудно сосчитать, что число различных замков равно 10x10x10x10x10 = 100000.

Каждому из этих 100000 замков соответствует особый ключ, – единственный, которым возможно его открыть. Существование ста тысяч различных замков и ключей, конечно, вполне обеспечивает владельца замка, так как у желающего вкрасться в помещение с помощью подобранного ключа есть только 1 шанс из 100000 напасть на подходящий ключ.