Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи

После предыдущих разъяснений решить эту задачу уже не трудно. Легко сообразить, рассуждая, как прежде, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством:

12·x – 1 = x/2,

откуда 1 = 11 1/2·x, или x = 2/23 целого оборота, т. е. через 1 1/23 часа после XII. Значит, в 1 час. 2 14/23 минуты стрелки будут расположены требуемым образом. Действительно, минутная стрелка должна стоять посредине между XII и 1 1/23 часами, т. е. на 12/23 часа, что как раз и составляет 1/23 полного оборота (часовая стрелка пройдет 2/23 целого оборота).

Второй раз стрелки расположатся требуемым образом в момент, который определится из равенства:

12·x – 2 = x/2,

откуда 2 = 11 1/2·x и х = 4/23; искомый момент – 2 часа 5 5/23 мин.

Третий искомый момент – 3 час. 7 19/23 мин. и т. д.

Задача эта решается так же, как и предыдущая. Вообразим, что обе стрелки стояли у XII, и затем часовая отошла от XII на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквою х. Минутная стрелка за то же время успела повернуться на 12·?. Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требованию нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка отстояла от конца целого круга на столько же, на сколько часовая стрелка успела отойти от начала; другими словами:

1-12·x = x.

Отсюда 1 = 13·x (потому что 13·x-12·x = x). Следовательно, x = 1/13 доле целого оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит в 12/13 часа, т. е. показывает 55 5/13 мин. первого. Минутная стрелка в то же время прошла в 12 раз больше, т. е. 12/13 полного оборота; обе стрелки, как видите, отстоят от XII одинаково, а следовательно, одинаково отодвинуты и от VI по разные стороны.

Мы нашли одно положение стрелок – именно то, которое наступает в течение первого часа. В течение второго часа подобное положение наступит еще раз; мы найдем его, рассуждая по предыдущему, из равенства

1-(12·x-1) = x или 2-12·x = x,

откуда 2 = 13·x (потому что 13·x-12·x = x), и, следовательно, x = 2/13 полного оборота. В таком положении стрелки будут в 1 11/13часа, т. е. в 50 10/13 минуты второго.

В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от XII на 3/13 полного круга, т. е. в 2 10/13 часа, и т. д. Всех положений 11, причем после VI часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те места, в которых была раньше минутная, а минутная становится на места часовой.

Обычно отвечают – «7 секунд». Но такой ответ, как сейчас увидим, неверен.

Когда часы бьют три, мы наблюдаем два промежутка:

1) между первым и вторым ударом;

2) между вторым и третьим ударом.

Оба промежутка длятся 3 секунды; значит, каждый продолжается вдвое меньше – именно 1 1/2 секунды.

Когда же часы бьют семь, то таких же промежутков бывает 6. Шесть раз по полторы секунды составляют 9 секунд. Следовательно, часы «бьют семь» (т. е. делают 7 ударов)в 9 секунд.

Солнце при своем кажущемся суточном движении описывает полный круг в 24 часа, – т. е. во столько же времени, как и часовая стрелка упомянутых заграничных часов. Поэтому, если в полдень, т. е. в 12 часов дня, расположить циферблат карманных часов так, чтобы часовая стрелка была направлена на солнце, то стрелка эта, двигаясь вместе с солнцем, будет все время указывать на дневное светило.

Отсюда вытекает простой способ отыскивать помощью часов (конечно, только днем, в безоблачную погоду) то место, где солнце бывает в полдень, т. е. находить направление на юг. Для этого нужно только расположить циферблат так, чтобы часовая стрелка указывала на солнце; тогда направление на цифру XII укажет, где было солнце в 12 часов, т. е. укажет направление на юг.

Часовая стрелка обыкновенных часов описывает полный круг не в 24 часа, а в 12 часов, т. е. движется вдвое медленнее, чем солнце по небу. Отсюда легко сообразить (см. предыдущую задачу), как найти направление на юг с помощью обыкновенных карманных часов.

Нужно расположить их так, чтобы часовая стрелка была направлена на солнце, и разделить пополам (на глаз) угол между часовой стрелкой и направлением на цифру XII. Линия, делящая этот угол пополам, покажет, где солнце было в полдень, т. е. покажет точку юга.

Решение задачи № 49

Большинство людей в ответ на вопрос нашей задачи рисуют:

6 или 9, или: VI или IΛ.

Это показывает, что можно видеть вещь сто тысяч раз и все-таки не знать ее. Дело в том, что обычно на циферблате (мужских часов) цифры шесть вовсе нет, потому что на ее месте помещается секундник.

Решение задачи № 50

Загадочные перерывы в тиканьи часов происходят просто от утомления слуха. Наш слух, утомляясь, притупляется на несколько секунд – и в эти промежутки мы не слышим тиканья. Спустя короткое время утомление проходит, и прежняя чуткость восстанавливается, – тогда мы снова слышим ход часов. Затем наступает опять утомление, и т. д.

Глава VI Неожиданные подсчеты

ЗАДАЧА № 51

Стакан гороху

Вы много раз держали в руках горошину и не менее часто имели дело со стаканом. Размеры того и другого вам должны быть поэтому хорошо знакомы. Представьте же себе теперь стакан, доверху наполненный горохом, и вообразите, что все эти горошины выставлены в один ряд, вплотную одна к другой.

Как вы думаете – был бы этот ряд длиннее обеденного стола или короче?

ЗАДАЧА № 52

Листья дерева

Если бы сорвать с какого-нибудь старого дерева – например с липы – все листья и положить их рядом, без промежутков, то какой приблизительно длины был бы этот ряд? Можно ли было бы, например, окружить им большой дом?

ЗАДАЧА № 53

Миллион шагов

Вы, конечно, очень хорошо знаете, что такое миллион, и столь же хорошо представляете себе длину своего шага. А раз вы знаете то и другое, то вам нетрудно будет ответить на вопрос: как далеко отошли бы вы, сделав миллион шагов? Больше, чем на 10 километров, или меньше?

ЗАДАЧА № 54

Квадратный метр

Я знал школьника, который, услышав впервые, что в квадратном метре миллион квадратных миллиметров, не хотел этому верить. Никакие разъяснения не были для него убедительны. «Откуда их берется так много? – недоумевал он. – Вот у меня лист миллиметровой бумаги, длиною и шириною ровно в метр. Неужели же в этом квадрате целый миллион миллиметровых клеточек? Ни за что не поверю».

– А ты пересчитай, – посоветовали ему.

– И пересчитаю! В воскресенье будет у меня свободное время, я и займусь этим делом.

В воскресенье он встал рано утром и сразу же принялся за счет, аккуратно отмечая точками сосчитанные квадратики. Каждую секунду появлялась новая точка под острием его карандаша; работал он усердно, и дело шло быстро.

Но убедился ли он в этот день, что квадратный метр заключает действительно миллион миллиметровых клеточек?

ЗАДАЧА № 55

Кубический метр

В одной школе учитель задал вопрос: какой высоты получился бы столб, если бы поставить один на другой все миллиметровые кубики, заключающиеся в кубическом метре?

– Это было бы выше Эйфелевой башни (300 метров)! – воскликнул один школьник.

– Даже выше Монблана (5 км), – ответил другой.

Кто из них ошибался больше?

ЗАДАЧА № 56

Кубический километр

Вообразите кубический ящик высотой в целый километр (немного менее версты). Как вы думаете, сколько таких ящиков понадобилось бы, чтобы вместить тела всех людей, живущих на свете? Примите во внимание, что население земного шара равно 1800 миллионам человек и что в одном кубическом метре можно уместить, средним счетом, 5 человеческих тел.

ЗАДАЧА № 57

Волос

Человеческий волос очень тонок: толщина его – около 20-й доли миллиметра. Но если бы волос был в миллион раз толще, какой примерно ширины был бы он? Один из моих знакомых, которому я задал этот вопрос, ответил, что волос был бы тогда толще круглой комнатной печи; другой утверждал, что волос был бы шириной во всю комнату. Оба, конечно, ошибались, – но кто ошибся больше?

ЗАДАЧА № 58

Сколько портретов?

Нарисуйте портрет на папке и разрежьте его на полосы, как показано на нашем рисунке, – положим, на 9 полос. Если вы умеете хоть немного рисовать, вам нетрудно будет изготовить еще такие же полосы с изображением различных частей лица, – однако так, чтобы каждые две соседние полосы, даже принадлежащие к разным портретам, можно было прикладывать одну к другой без нарушения непрерывности линий. Если вы для каждой части лица приготовите, например, 4 полосы [13] , у вас будет 28 полос, из которых, складывая по 9, вы сможете составлять разнообразные портреты.

Рис. 42. Составные портреты.

В магазинах, где одно время продавали готовые наборы таких полос (или брусков) для составления портретов, продавцы уверяли покупателей, что из 36 полос можно получить т ы с я ч у различных физиономий.

Верно ли это?

Хотя французский замок известен всем, но устройство его знают лишь немногие. Поэтому часто приходится слышать сомнения в том, чтобы могло существовать большое число различных французских замков и ключей к ним. Достаточно, однако, познакомиться с остроумным механизмом этих замков, чтобы убедиться в возможности разнообразить их в достаточной степени.