Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи

Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка покрывает другую (рис. 38). Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.

Рис. 38.

Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается? ЗАДАЧА № 42 Когда стрелки направлены врозь?

В 6 часов, наоборот, обе стрелки направлены в противоположные стороны (рис. 39). Но только ли в 6часов это бывает, или же есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

ЗАДАЧА № 43 В котором часу?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько же, на сколько часовая находится впереди числа XII на циферблате? А может быть, таких моментов бывает в день несколько? Или же вовсе не бывает?

Если вы внимательно наблюдаете за часами, то, быть может, вам случалось наблюдать как раз и обратное расположение стрелок, чем то, что сейчас описано: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа XII (рис. 40). Когда же это бывает?

ЗАДАЧА № 45 По обе стороны шести

Я взглянул на часы и заметил, что обе стрелки отстоят от цифры VI, по обе ее стороны, одинаково. В котором часу это было?

Часы бьют три, и, пока они бьют, проходят три секунды. Сколько же времени должны употребить часы, чтобы пробить семь?

На всякий случай предупреждаю, что это – не задача-шутка и никакой ловушки не скрывает.

Теперь за границей не редкость карманные часы, циферблат которых разделен не на 12, а на 24 части, с обозначением от I до XXIV часов. Часовая стрелка таких часов описывает полный круг не в 12, а в 24 часа.

Такими часами можно в ясные дни пользоваться взамен компаса.

Как?

А нельзя ли, за неимением компаса, воспользоваться и нашими обыкновенными карманными часами, чтобы в ясный день определить по ним, хотя бы приблизительно, страны света?

Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно обладает он карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:

– А по скольку раз в день взглядываете вы на свои часы?

– Раз двадцать, вероятно, или около того, – последует ответ.

– Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6.000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6.000x15, т. е. чуть не сто тысяч раз. Вещь, которую вы видели сто тысяч раз, вы, конечно, должны знать и помнить отлично.

– Ну разумеется!

– Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.

И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш.

Он исполняет вашу просьбу, – но… изображает цифру шесть в большинстве случаев совсем не такою, какою обозначена она на его часах.

Почему?

Ответьте на этот вопрос, не взглядывая на ваши карманные часы.

Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или на четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что часы ваши идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают итти, и т. д.

Чем объясняется такой неравномерный ход?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ЧАСАХ (№№ 41–50)

Начнем наблюдать за движением стрелок в XII часов. В этот момент обе стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, чем минутная (она описывает полный круг в 12часов, а минутная в 1 час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав 1/12 долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у XII – на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая 1/12 круга, т. е. минутная сделала бы на 11/12 круга больше. Но, чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько раз 1/12 меньше 11/12, т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11часа, т. е. через 60/11 = 5 5/11 минуты.

Итак, встреча стрелок случится спустя 5 5/11 минуты после того, как пройдет 1 час, т. е. в 5 5/11 минут второго.

Когда же произойдет следующая встреча?

Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5 5/11 мин., т. е. в 2 часа 10 10/11 мин. Следующая – спустя еще 1 час 5 5/11 мин., т. е. в 3 часа 16 4/11 мин., и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; одиннадцатая наступит через 1 1/11 х 11 = 12 часов после первой, т. е. в 12часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты.

Вот все моменты встреч:

1-я встреча – в 1 час. 5 5/11 мин.

2-я » – в 2 » 10 10/11

3-я » – в 3 » 16 4/11

4-я » – в 4 » 21 9/11

5-я » – в 5 » 27 3/11

6-я » – в 6 » 32 8/11

7-я » – в 7 » 38 2/11

8-я » – в 8 » 43 7/11

9-я » – в 9 » 49 1/11

10-я » – в 10 » 54 6/11

Решение задачи № 42

Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 часов, когда обе стрелки совпадают. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга, – тогда обе стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 11/12 полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/2 круга, понадобится меньше времени, чем целый час, – меньше во столько раз, во сколько 1/2 меньше 11/12, т. е. потребуется всего 6/11 часа. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/11 часа, или 32 8/11 минуты. Взгляните на часы в 32 8/11 минуты первого, и вы убедитесь, что стрелки направлены в противоположные стороны.

Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32 8/11 минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:

12 ч. + 32 8/11 мин. = 12 ч. 32 8/11 мин.

1 ч. 5 5/11 мин. + 32 8/11 мин. = 1 ч. 38 2/11 мин.

2 ч. 10 10/11 мин. + 32 8/11 мин. = 2 час. 43 7/11 мин.

3 ч. 16 1/11 мин. + 32 8/11 мин. = 3 ч. 49 1/11 мин. и т. д.

Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.

Если начать следить за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стречка проходит 1/12 того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется для искомого расположения. На какой бы угол ни отошла от XII минутная стрелка, часовая повернется на 1/12 этого угла, а не на 1/2, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у XII, часовая – у 1, на 1/12 полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры XII на долю оборота, которую мы обозначаем через х. Минутная стрелка успела за то же время пройти в 12 раз больше, т. е. 12·x. Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12·x-1 должен быть вдвое больше, чем х, т. е. равняться 2·x. Мы видим, следовательно, что 12·x-1 = 2·x откуда следует, что 1 целый оборот равен 10·x (действительно: 12·x-10·x = 2·x). Но если 10·x = целому обороту, то одно X = 1/10части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры XII на 12/10 полного оборота, на что требуется 12/10 часов, или 1 час 12 мин. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от XII, т. е. на расстоянии 1/5 оборота; это отвечает 60/5 = 12 минутам, – как и должно быть.

Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение двенадцати часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.

Для этого дождемся двух часов; минутная стрелка стоит у XII, а часовая – у II. Рассуждая по предыдущему, получаем равенство

12·x-2 = 2·x

откуда 2 целых оборота равны 10·x и, значит, x = 1/5 целого оборота. Это соответствует моменту 12/5 = 2 ч. 24 м.

Дальнейшие моменты вы легко вычислите сами. Тогда вы найдете, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующие 10 моментов:

в 1 час 12 мин.

в 2 » 24 »

в 3 » 36 »

в 4 » 48 »

в 6 часов

в 7 » 12 »

в 8 » 24 »

в 9 » 36 »

в 10 » 48 »

Ответы: «в 6 часов» и «в 12 часов» могут показаться неверными, – но только с первого взгляда. Действительно: в 6 часов часовая стрелка стоит у VI, минутная же – у XII, т. е. ровно вдвое дальше. В 12 же часов часовая стрелка удалена от XII на нуль, а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому что двойной нуль – то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи. Решение задачи № 44

После предыдущих разъяснений решить эту задачу уже не трудно. Легко сообразить, рассуждая, как прежде, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством: