Генри Саггс - Величие Вавилона. История древней цивилизации Междуречья
Полезно еще раз подчеркнуть, что подавляющее большинство сотен тысяч клинописных табличек имеют экономическое содержание и касаются таких прозаических вещей, как расписки, займы и нормы. Чисто математических текстов значительно меньше. В них имеются задачи и таблицы. Задачи – это описание алгебраических или геометрических задач, а табличные тексты содержат таблицы для умножения, деления и подсчета обратных величин, квадратов, квадратных корней, кубов, кубических корней и т. д. Многие табличные тексты, большинство из которых найдены в Ниппуре, очевидно, являлись школьными упражнениями. Об этом свидетельствует тот факт, что на некоторых табличках одна и та же таблица повторяется, выполненная разными людьми. На других табличках можно видеть на одной стороне математические таблицы, на другой стороне – словари (широко использовавшиеся для обучения писцов). Известно, что Ниппур был развитым центром обучения писцов в старовавилонский период, а математика, безусловно, входила в программу обучения.
Что касается уровня вавилонских математических достижений старовавилонского периода (ок. 1800 до н. э.), Нойгебауэр сравнивает его с ранним Ренессансом. В основном речь шла об алгебре, но уже были известны свойства элементарных последовательностей, таких как арифметическая и геометрическая прогрессия, а также некоторые геометрические отношения. Сегодня ясно, что сущность того, что мы называем теоремой Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, – было известно уже в Вавилоне. Правда, нет никаких доказательств того, что вавилоняне могли доказать эту теорему. Хотя некоторые авторы считают, что одна старовавилонская табличка, покрытая геометрическими чертежами (см. фото 34 и 35), связана с теоретическим доказательством отношения между площадями разных фигур, вавилонская математика (как и вся вавилонская наука) по большей части основывалась на эмпирических знаниях, а не на формальных доказательствах. Величина числа π была известна очень точно – 3 1/8, то есть с точностью до 0,6 процента. Этому можно противопоставить ситуацию в Израиле во времена Соломона, то есть тысячелетием позже, где число π считали равным 3. Квадратные уравнения, включающие элементы до восьмой степени, были хорошо известны, и, как уже отмечалось, существовали таблицы квадратных и кубических корней.
Далее следует краткое описание двух простых примеров старовавилонских задач. Первый пример – квадратное уравнение. Вначале приводится дословный перевод, затем (надеюсь) достаточные объяснения, чтобы сделать их понятными для читателей, когда-то изучавших элементарную алгебру.
Я добавил площадь поверхности и сторону квадрата: 45′
Ты должен записать 1, единицу.
Тебе следует разбить ее на половины: 30′
Тебе следует привести к общему знаменателю 30′ и 30′ : 15′
Тебе следует добавить 15′ к 45′ : 1
Это квадрат 1
Ты должен вычесть 30′, которое ты умножил на себя, из 1 : 30′, сторона квадрата.
Если учесть, что в математических задачах использовалась шестидесятеричная система, становится понятнее.
Тогда 45′ – это 45 / 60 = 3/4, 30′ – это 30 / 60 = 1/2, а 15′ – это 15 / 60 = 1/4. Подсчеты можно выполнить следующим образом:
Площадь квадрата плюс сторона квадрата = 3/4.
Возьмем коэффициент (линейных измерений) 1.
Половина коэффициента = 1/2
Квадратный корень из 1/2 = 1/4
1/4 + 3/4 = 1
Квадратный корень из 1 = 1
1 – 1/2 = 1/2
В современных символах процесс можно изобразить следующим образом:
(Вавилонские математики не занимались отрицательными значениями числа x.)
Старовавилонская табличка, касающаяся геометрических отношений, показана на фото 34 и 35. Текст разделен на части, каждая из которых состоит из фигуры и описания. Очевидно, студенту предлагалось посчитать площадь разных фигур. В одной части изображено следующее:
Квадрат, сторона – 1. Внутри его четыре квадранта и 16 ладьевидных фигур. Я начертил 5 правильных четырехугольников с вогнутыми сторонами.
Площадь, какова она?
Астрономия
Сравнительно немногие западноевропейцы, считающие себя культурными людьми, могут жить вдали от города с его загрязненным воздухом и ярким уличным освещением, что мешает видеть ночное небо. Однако, к примеру, на большей части территории Ирака эти факторы отсутствуют, и весьма значительная часть населения после наступления темноты сидит на открытом воздухе и наслаждается вечерней прохладой после изнуряющей дневной жары. Поэтому нередко получается так, что европейский турист или археолог, попавший в Ирак и вынужденный изменить свои привычки, именно здесь впервые в жизни видит ночное небо. Обычно увиденное поражает его. Любопытным следствием такого положения вещей является тот факт, что в книгах ученых-ассириологов обычно содержится утверждение о необычайной яркости ночного неба. К примеру, датский ученый пишет: «Современные путешественники рассказывали о необычайной ясности, с которой являют себя человеческому глазу созвездия, в особенности планеты в сухом, холодном и безоблачном ночном воздухе Месопотамии. Эти рассказы я могу подтвердить. Молчаливые небесные знаки буквально вынуждали наблюдать за собой с древнейших времен, и зиккураты... должно быть, были идеальными обсерваториями».
Нойгебауэр указывает, что предполагаемая исключительная «яркость вавилонского неба – это «больше литературное клише, чем действительный факт». К этому выводу пришли и другие наблюдатели. Разница мнений – скорее вопрос эстетического восприятия, поскольку влияет на нашу оценку действительной и возможной точности вавилонских наблюдений астрономических явлений вблизи горизонта в первую очередь восхода и захода планет, что может быть затруднено из-за пылевой дымки.
Широко распространено мнение, что астрономия возникла на основе астрологии, но вавилонские свидетельства не подтверждают этот вывод однозначно. Конечно, некоторые ранние астрономические наблюдения, вероятно, велись, чтобы обеспечить материал для предсказаний. Однако следует различать предсказания, сделанные на основе поведения небесных тел, как наблюдаемого глазом явления, и астрологию, основанную на теории соответствий между землей и небом. Сама астрология может быть разделена на два типа. Астрология в современном смысле, то есть гороскопическая астрология, включающая веру в то, что судьба индивида определяется расположением небесных тел в момент его рождения, появилась позднее – примерно во второй половине 1-го тысячелетия до н. э. До нее существовал более общий тип астрологии, обычно называемый «судейской» (ниспосланной свыше) астрологией (в отличие от гороскопической астрологии), которая претендовала на возможность предсказать, основываясь на небесных или метеорологических явлениях, непосредственное будущее всей страны в таких вопросах, как урожай, наводнение или вторжение. Следующий отрывок дает пример такой астрологии:
Если солнце находится в позиции луны, царь страны будет прочно сидеть на троне. Если солнце находится над или под луной, основы трона будут надежными. Царь страны будет править и вершить правосудие. Если солнце и луна невидимы, царь страны проявит мудрость.
Ночью Сатурн подходит ближе к луне. Сатурн – «звезда» солнца. Вот решение: это благоприятно для царя, потому что солнце – царская звезда.
Если в месяц Нисан происходит землетрясение, страна восстанет против царя.
Если в месяце Аб гремит гром, день пасмурный, льет дождь и сверкает молния, будет много воды. Если гремит гром в безоблачный день, в стране будет мрак. Если в месяце Аб с небес льет вода, будет убийство людей. Если вихрь приходит с запада, будет убийство людей запада.
Если гром гремит дважды, страна, пославшая уведомление о враждебности, пошлет уведомление о мире.
Еще раньше, чем подобные прогнозы, существовали астрологические знамения, часть которых относится к началу 2-го тысячелетия до н. э., а отдельные ученые считают, что и к времени правления Саргона Аккадского (ок. 2370 до н. э.). Впоследствии такие тексты были сгруппированы в «Серии», самой важной и известной из которых является Энума Ану Энлиль, которая окончательно оформилась в конце 2-го – начале 1-го тысячелетия до н. э., скорее всего в касситский период. Следующий отрывок может служить примером: «Если затмение случается в месяц Сиван на четырнадцатый день и лунный бог в своем затемнении темнеет на восточной стороне вверху и светлеет на западной стороне внизу, северный ветер поднимается во время первой ночной стражи и ослабляется во время средней ночной стражи. Лунный бог, который в своем затемнении темнеет на восточной стороне вверху и светлеет на западной стороне внизу... даст решение для Ура и царя Ура: царь Ура увидит голод, мертвых будет много. Что касается царя Ура, его сын применит к нему силу, а что касается сына, применившего силу к отцу, бог солнца Шамаш поймает его, и он умрет за непочтительность по отношению к отцу. Сын царя, который не был предназначен для царствования, возьмет трон».
