Дмитрий Калюжный - Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона
Брахмагупта в стихотворной форме написал огромное сочинение в двадцати книгах «Усовершенствованная наука Брамы». Он излагал основы арифметики и геометрии, алгебры и метрологии; занимался действиями над целыми числами и дробями и извлечением корней. Он решал задачи на бассейны и смеси; посвятил место суммированию рядов, планиметрии, вычислению различных объемов, задачам неопределенного анализа и задачам комбинаторики.
Главной особенностью индийской математики является преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или читателям в догматической форме.
Представление о бесконечно больших числах ввел в математику Бхаскара. Он пояснял, что бесконечно большое – это тоже число, но не претерпевающее изменений, приращения или ущерба, какое бы большое число мы к нему ни прибавляли или от него ни отнимали; его, по выражению Бхаскары, можно уподобить вечному времени бесконечной цепи существования.
Индийские математики ввели в расчеты и правильно трактовали понятие отрицательного числа. Это пример, как иной подход к проблеме позволяет получать другие результаты. Ведь византийцы работали с отрезками прямых, представить себе отрезок отрицательной длины невозможно. Да и нулевой отрезок имеет мало смысла.
Другое дело – индийская математика. Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов – долг, имущества и долга – их разность, которая либо долг, если он больше, либо имущество, если оно больше, либо нуль, если они равны. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля – имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество; результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило справедливо и при делении. Квадрат имущества, или долга, есть имущество; имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой – долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индийские математики не использовали их как равноправные элементы математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что, по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны.
Развитие методов решения задач неопределенного или диофантова анализа представляет одно из высших достижений индийской математики. Причина заинтересованности математиков Индии в решении подобных задач лежит, по-видимому, в необходимости изучения периодически повторяющихся явлений, обильные примеры чего дает астрономия. В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновременно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит к неопределенному уравнению: 10 960 у = 30 х. Другие вопросы, например, о периоде совпадения некоторых явлений, приводят к полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели находить целочисленные решения различных видов неопределенных уравнений 1-й и 2-й степени.
Но характерная форма изложения, при которой не воспроизводится ни ход рассуждений, ни доказательства, не дает возможности судить о теоретико-числовых методах индийских математиков, хотя то немногое, что известно, показывает на наличие ряда таких методов.
Индийская геометрия тоже носит все черты практического подхода к делу. Есть чертежи, есть правила, но иногда правил нет, а под чертежом написано только: «смотри!». Некоторый интерес представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды заменены полухордами. При этом вводятся в рассмотрение, по существу, тригонометрические функции: синусы, косинусы и синусы-верзусы (sinvers а = 1 – cos а).
Индийский математик Варахамихира заменил хорду (дживу) в тригонометрии половинной хордой. В его «Пангасиддханте» использовались понятия котиджива и уткра-маджива. Все эти понятия в VIII веке заимствовали арабские математики; термин джива они изменили на джиба, а затем и на джайб – впадина, изгиб, излучина. Этот термин был переведен с арабского языка на латинский в его буквальном значении словом sinus. Cosinus – сокращение от complementisinus (дополнение синуса).
В истории Индии имеется много фактов, свидетельствующих об экономических и политических связях с византийским и арабским миром и с Китаем. В математике считается бесспорным индийское происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимствование индусами от византийцев некоторых геометрических фактов и т. д.
В заключение еще раз отметим, что как о китайской, так и об индийской математике мы располагаем вообще очень ограниченным запасом сведений.
О математике Древнего Вавилона
Во-первых, мы будем называть Вавилоном комплекс государств, которые, по мнению традиционной истории, сменяли друг друга на территории междуречья Тигра и Евфрата. От этих государств дошло до нас около ста тысяч глиняных табличек с записями, сделанными клинописью. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста – около 200.
Клинописный текст ВМ 85194 содержит 16 задач с решениями. Задачи относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Четвертая задача, снабженная чертежом, относится к круговому валу. 14-я задача рассматривает усеченный конус. Объем его определяется умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований.
Вавилонская система имеет два основных элемента: «клин» V с числовым значением 1 и «крючок» ‹ с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно записать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу N = a 060 0 + a 160 1 +…
Таким образом, система счисления оказывается позиционной шестидесятиричной. Однако эта система не знает нуля. При отсутствии промежуточного разряда употреблялся специальный знак, игравший роль нуля. Но отсутствие низшего разряда не обозначалось. Таким образом, число, обозначающееся тремя единицами, можно было считать и как 3, и как 180, и как 10 800, и т. д. Различить их можно было только по смыслу текста.
Запись 3 могла также означать 3/60, 3/3600 и т. д., подобно тому, как числа 0,3, 0,03, 0,003 и т. д. в десятичной системе. Вот что значит наличие позиционной системы и отсутствие нуля!
Наряду с шестидесятиричной системой нумерации вавилоняне пользовались и десятичной системой, но она не была позиционной. В ней, кроме знаков для 1 и 10, существовали знаки для 100, 1000 и 10 000.
Вообще возникновение такой системы не очень понятно. Возможно, шестидесятеричная система существовала здесь и раньше, но люди, умевшие писать, были людьми другой культуры и поэтому, сохранив шестидесятеричную систему, стали использовать не двенадцатиричную, а десятичную. Это могло произойти и под влиянием Византии, где шестидесятеричная система выводится из геометрии. Самое простое – делить окружность на шесть частей, которые потом делятся на 10 частей. Как бы то ни было, мы сегодня не знаем, когда и как возникла здесь шестидесятеричная система. На этот счет строилось много гипотез, но ни одна пока не доказана.
Интересно, что хотя шестидесятеричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Ближнего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, то есть до начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса, а также часа на 60 минут и минуты на 60 секунд.
Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегчения действий существовали таблицы умножения (от 1×1 до 60×60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений. А кроме них, использовали таблицу квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (квадратных корней), таблицы чисел вида п 2 + п 3 и т. д.
В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов (на самом деле это не проценты как одна сотая часть числа, а одна шестидесятая часть числа) за долги, пропорциональное деление. Ряд текстов посвящен решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, 2-й и даже 3-й степени.
Б. Л. ван дёр Варден классифицировал все приемы решения задач в вавилонских табличках. Он пришел к выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения всего десяти видов уравнений и их систем. Наконец, в 1945 году Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Колумбийского университета (США). В ней оказался перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то есть троек пифагоровых чисел x2 + y2 = z2.
