100 великих парадоксов - Рудольф Константинович Баландин
Если бегун Зенона успевает за 2 мин. преодолеть бесконечно много отрезков дистанции, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, то почему ровно за 2 мин. нельзя успеть бесконечно много раз включить и выключить некую реально не существующую идеальную лампу? Но если лампа Томсона может за 2 мин. бесконечно много раз перейти из состояния “вкл.” в состояние “выкл.”, то это означает, что существует “последнее” натуральное число, с чем трудно согласиться.
Философ Макс Блэк сформулировал тот же парадокс несколько иначе. Он рассмотрел “машину бесконечности”, переводящую шарик из лунки A в лунку B за 1 мин., затем возвращающую шарик из лунки B в лунку A за 1/2 мин., снова переводящую его из лунки A в лунку B за 1/4 мин. и т. д., каждый раз вдвое быстрее, чем в предыдущий.
Ряд 1 + 1/2 + 1/4 +… сходится, и все операции по перекатыванию шарика завершаются в течение 2 мин. Но в какой из лунок – в A или B – окажется шарик по истечении 2 мин.? В какой бы из них он ни оказался, это будет означать, что последнее натуральное число либо четно, либо нечетно. Так как последнего счетного числа не существует, то обе возможности, по-видимому, исключаются. Но если шарика нет ни в лунке A, ни в лунке B, то где же он?»
На последний вопрос можно ответить: если шарика нет ни в одной из двух лунок, значит, он находится между ними.
Парадокс удвоения шара
Геометрическую теорему, которую называют парадоксом удвоения шара, доказали польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский. Чтобы понять, как они это сделали, надо профессионально знать соответствующий раздел высшей математики. Будем довольствоваться общим описанием.
Утверждается: если шар разделить по меньшей мере на пять частей, из них можно составить два шара, в точности подобные исходному шару.
Только и всего!
Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара
Сразу хочется спросить, а можно ли реализовать на практике такую теорию? Это было бы самым замечательным достижением за всю историю человечества!
Увы, когда речь идёт о теоретической высшей математике, надо готовиться к фантастическим идеям, которые доказываются с научной безупречностью. Вот только не надо вспоминать о нашем бренном материальном мире. Математика – наука идеалистическая.
То, что для непосвящённого выглядит как парадокс (а то и нелепость), для знатока представляется оригинальной логичной теоремой, которая может иметь несколько столь же сугубо теоретических следствий.
Для популярного объяснения теоремы Банаха – Тарского в Интернете приведено такое рассуждение. Окружность состоит из бесконечного количества точек, ибо они не имеют никаких измерений в пространстве как нуль-мерный объект. Если взять каждую вторую точку окружности, то они могут составить ещё одну окружность точно такого радиуса, что и первая.
«По такому же принципу нужно действовать и с шаром, чтобы получить его точную копию из него самого. Очевидно, что “куски” в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике)», – пишет автор этого комментария.
Ах, если б столь волшебный метод удвоения (а почему не утроения, учетверения и так далее?) имел хотя бы какое-нибудь практическое применение! Об этом сведений нет.
Википедия: «Для плоского круга аналогичное свойство неверно. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено на все ограниченные множества как конечно-аддитивная мера, инвариантная относительно движений; в частности, любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь.
Тем не менее некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число частей и составить из них квадрат равной площади (квадратура круга Тарского)».
Чтобы популярно это растолковать, надо быть хорошим специалистом. Поэтому я оставлю цитату из Википедии в её первобытном состоянии. Там же есть такое пояснение: «Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма, если под объёмом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности (свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям). И предполагаем, что объёмы двух конгруэнтных множеств совпадают».
В общем, доказательство теоремы Банаха – Тарского приходится признать весьма замысловатым. Не совсем ясно, почему нельзя создавать что угодно, оперируя нуль-мерными объектами (геометрическими точками и всем тем, что из них построено). Это поистине творение виртуального мира из ничего.
Для непосвящённого теорема Банаха – Тарского выглядит странной выдумкой. К сожалению, мне не удалось выяснить, имеет ли она какое-нибудь практическое значение.
Как утверждает автор Интернета: «Решение этого парадокса… очень важно для теоретической математики». Вполне возможно. Хотелось бы только узнать, в чём заключается теоретическая ценность данного парадокса. Недаром же говорят: нет ничего практичней хорошей теории (авторство этого парадокса выяснить трудно). Австрийский физик Людвиг Больцман: «Помимо своей духовной миссии, теория есть ещё и самое практичное из всего, что можно помыслить; в известном смысле это квинтэссенция практики». М.В. Ломоносов: «Теория без практики мертва и бесплодна». Или он ошибался?
Какой смысл имеет научная теория, не имеющая даже косвенного отношения к реальности, не имеющая никакой практической ценности? Занятная игра ума для узких специалистов, сознающих при этом своё умственное превосходство над профанами…
Возможно, есть какая-то польза в подобных интеллектуальных упражнениях. Скажем, для развития ума и парадоксального мышления. В таком случае их авторы должны бы совершать незаурядные научные открытия. В отношении Банаха и Тарского сообщают только то, что они были хорошими преподавателями.
Парадокс пьяницы
Американский математик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, прежде чем сформулировать данный парадокс, привёл анекдот.
Подвыпивший человек, сидящий у стойки в баре, громко говорит бармену: «Налей мне ещё, и налей всем. Когда я пью, то пьют все! Такой уж я человек».
Довольные посетители выпивают за его здоровье, а он не унимается: «Бармен, ну-ка налей мне ещё, и налей всем! Если я пью, то пьют все. Такой уж я человек».
Все выпивают снова, благодаря щедрого посетителя. А он встаёт, кладёт деньги на стойку и объявляет: «Когда я плачу, платят все! Такой уж я человек».
…Итак, в некое время в каком-то баре, если выпивал один посетитель, то выпивали все. Случай с этим посетителем из анекдота превращается в «парадокс пьяницы», который гласит: «В любом баре имеется по крайней мере один человек, который если пьёт, то пьют
