Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Многочастичные системы

Квантовомеханические описания многочастичных состояний, к сожалению, очень сложны. В действительности такие описания чрезвычайно сложны. О них необходимо думать в терминах суперпозиций всех различных возможных расположений всех отдельных частиц! Это приводит к огромному числу возможных состояний — гораздо большему, чем в случае поля в классической теории. Мы уже видели, что квантовое состояние даже одной частицы, а именно волновая функция, обладает сложностями такого рода, которые характерны для всего классического поля. Эта картина (требующая для своего задания бесконечно большого числа параметров) гораздо сложнее, чем классическая картина одной частицы (для задания состояния которой требуется всего лишь небольшое число параметров — точнее, шесть параметров, если частица не обладает внутренними степенями свободы, например, спином; см. главу 5, «Гамильтонова механика»). Такая ситуация может показаться достаточно плохой, и можно было бы думать, что для описания квантового состояния двух частиц понадобится два поля, каждое из которых описывало бы состояние каждой частицы. Ничего подобного! Как мы увидим далее, в случае двух и более частиц описание квантового состояния становится гораздо сложнее.

Квантовое состояние одной (бесспиновой) частицы определяется комплексным числом (амплитудой) для каждого возможного положения, которое может занимать частица. Частица обладает амплитудой, чтобы находиться в точке А, и амплитудой, чтобы находиться в точке В, и амплитудой, чтобы находиться в точке С, и т. д. Подумаем теперь о двух частицах. Первая частица может находиться в точке А, а вторая, например, — в точке В. Возможность такого события должна была бы иметь некоторую амплитуду. С другой стороны, первая частица могла бы находиться в точке В, а вторая — в точке А, и такое расположение частиц также должно иметь некоторую амплитуду; возможно, что первая частица могла бы находиться в точке В, а вторая — в точке С или, может быть, обе частицы могли бы находиться в точке А. Каждый из этих возможных вариантов должен иметь некоторую амплитуду. Следовательно, волновая функция должна быть не просто парой функций положения (т. е. парой полей), а одной функцией двух положений!

Чтобы получить некоторое представление о том, насколько сложнее задать функцию двух положений по сравнению с двумя функциями положения, представим себе ситуацию, в которой существует лишь конечный набор допустимых положений. Предположим, что разрешены ровно 10 положений, заданных (ортонормированными) состояниями

Тогда состояние |φ) одной частицы было бы какой-то линейной комбинацией

где различные коэффициенты z0, z1, z2,…., z9 дают, соответственно, амплитуды того, что частица находится попеременно в каждой из 10 точек. Десять комплексных чисел задают состояние одной частицы. В случае двухчастичного состояния нам понадобилось бы по одной амплитуде для каждой пары положений. Всего существуют

102 = 100

различных (упорядоченных) пар положений, поэтому нам потребовались бы 100 комплексных чисел! А если бы у нас были только два одночастичных состояния (т. е. «две функции положения», а не «одна функция двух положений», как в приведенном выше примере), то нам понадобилось бы всего лишь 20 комплексных чисел.

Пронумеруем эти 100 комплексных чисел следующим образом

а соответствующие (ортонормированные) базисные векторы[162]

Тогда общее двухчастичное состояние можно было бы представить в виде

Такое обозначение состояний в виде «произведения» имеет следующий смысл: если |α) — возможное состояние первой частицы (не обязательно состояние с определенным положением) и если |β) — возможное состояние второй частицы, то состояние, в котором первая частица находится в состоянии |α), а вторая — в состоянии |β), можно представить в виде

|α) |β).

«Произведения» можно также брать между любыми другими парами квантовых состояний, а не обязательно между парами одночастичных состояний. Таким образом, мы всегда интерпретируем состояние-произведение |α) |β) (не обязательно состояний отдельных частиц) как конъюнкцию

«первая система находится в состоянии |α)» и

«вторая система находится в состоянии |β)»

(Аналогичная интерпретация справедлива и относительно |α) |β) |γ) и т. д.; см. далее.) Однако общее двухчастичное состояние в действительности не имеет вид «произведения». Например, оно может быть представимо в виде

|α)|β) + |ρ)|σ),

где |ρ) — еще одно возможное состояние первой системы,

а |σ) — еще одно возможное состояние второй системы. Это состояние представляет собой линейную суперпозицию, а именно: суперпозицию первой конъюнкции состояний |α) и |β) плюс вторая конъюнкция состояний |ρ) и |σ), и не может быть представлено в виде простого произведения (т. е. как конъюнкция двух состояний). Еще один пример — состояние |α)|β) — |ρ)|σ) описывало бы другую такую линейную суперпозицию. Заметим, что квантовая механика требует проведения четкого различия между смыслом слов «плюс» и «и». И в обращении с этими словами нам следует быть более осторожными!

В случае трех частиц ситуация во многом аналогична. Чтобы задать общее трехчастичное состояние в приведенном выше примере, где имеются только 10 возможных положений, нам потребовалось бы теперь 1000 комплексных чисел! Полный базис для трехчастичных состояний состоял бы из следующих элементов:

|0)|0)|0), |0)|0)|1), |0)|0)|2), …, |9)|9)|9).

Частные трехчастичные состояния имели бы вид произведений трех сомножителей

|α)|β)|γ)

(где |α), |β) и |γ) — не обязательно состояния с определенным положением), но для общего трехчастичного состояния нам понадобилось бы построить суперпозицию большого числа состояний типа этих простых «произведений». Соответствующая схема получения общего состояния для четырех и более частиц должна быть очевидна.

До сих пор мы рассматривали случай различимых частиц, когда все частицы: «первая», «вторая», «третья» и т. д. принадлежат к разным типам. Одна из поразительных особенностей квантовой механики заключается в том, что в случае «тождественных» частиц правила коренным образом меняются. Действительно, правила становятся такими, что в самом прямом смысле частицы определенного типа должны быть не просто почти тождественными, а в точности тождественными. Это относится ко всем электронам и ко всем фотонам. Но оказывается, что все электроны тождественны друг другу совсем не так, как тождественны все фотоны! Различие заключается в том, что электроны принадлежат к так называемым фермионам, тогда как фотоны принадлежат к бозонам. Эти два класса частиц надлежит рассматривать весьма различным образом.

Прежде чем я окончательно запутаю читателя этими словесными несуразностями, позвольте мне попытаться объяснить, как действительно следует характеризовать фермионные и бозонные состояния. Правило состоит в следующем. Если |ψ) — состояние, содержащее некоторое число фермионов определенного типа, то при перестановке любых двух фермионов |ψ) должно перейти в — |ψ):