Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
р = √q
Затем нанесем р вместо q на сферу Римана и рассмотрим плоскость, проходящую через центр сферы перпендикулярно прямой, соединяющей центр сферы с точкой р. Эта плоскость пересекает сферу по окружности, проектируя которую на горизонталь, мы получаем эллипс поляризации (рис. 6.28)[160].
Рис. 6.28. Сфера Римана (но теперь со значениями √q) также описывает состояния поляризации фотона. (Вектор, направленный в точку √q, называется вектором Стока.)
Сфера Римана со значениями q по-прежнему описывает совокупность поляризованных состояний фотона, но квадратный корень р из q дает нам ее пространственную реализацию.
Чтобы вычислить вероятности, мы можем воспользоваться той же самой формулой 1/2(1 + cos v), которой мы пользовались для электрона, применив ее к q, а не к р. Рассмотрим плоскую поляризацию. Мы измеряем поляризацию фотона сначала в одном направлении, затем в другом направлении, образующем с первым угол φ. Эти два направления соответствуют двум значениям р на экваторе сферы, стягивающим угол φ в центре сферы. Так как величины р — квадратные корни из величин q, угол v, под которым из центра видны q-точки, вдвое больше угла, под которым из центра видны p-точки: v = 2φ. Таким образом, вероятность получения ответа ДА после второго измерения при условии, что после первого измерения был получен ответ ДА (т. е. вероятность прохождения фотона через второй поляроид при условии, что он прошел сквозь первый поляроид) равна 1/2(1 + cos φ), что, как показывают несложные тригонометрические преобразования, в точности совпадает с cos2φ и утверждалось выше.
Объекты с большим спином
Для квантовой системы с числом базисных состояний больше двух пространство физически различимых состояний имеет более сложную структуру, чем сфера Римана. Но в случае спина самой сфере Римана всегда отведена некоторая прямая геометрическая роль. Рассмотрим массивную частицу или атом со спином n х ħ/2 в состоянии покоя. (Для безмассовых частиц со спином, т. е. частиц, которые движутся со скоростью света (как, например, фотон), спин всегда, как было описано выше, представляет собой систему с двумя состояниями. Но у массивной частицы число состояний увеличивается с увеличением спина.) Если мы захотим измерить спин такой частицы в некотором направлении, то обнаружим, что существуют n+1 различных возможных исходов измерения, в зависимости от того, какая часть от полного спина ориентирована в выбранном направлении. В терминах фундаментальной единицы ħ/2 возможные результаты для значений спина в выбранном направлении равны n, n — 2, n — 4, …, 2 — n или — n. Следовательно, при n = 2 спин может быть равен (в единицах ħ/2) 2, 0 или -2, а при n = 3 это 3,1, -1 или -3 и т. д. Отрицательные значения соответствуют спину, направленному главным образом в сторону, противоположную той, в которой производилось измерение. В случае спина, равного 1/2, т. е. при n = 1, значение 1 соответствует ответу ДА, а значение -1 — ответу НЕТ (в приведенных выше описаниях).
Оказывается, хотя я не буду пытаться излагать здесь причины (Майорана [1932], Пенроуз [1987а]), что любое спиновое состояние (с точностью до коэффициента пропорциональности) для спина ħn/2 однозначно характеризуется (неупорядоченным) набором из n точек на сфере Римана, т. е. n (обычно различными) направлениями из ее центра (рис. 6.29). (Эти направления определяются измерениями, которые могут быть произведены над системой: если мы измерим спин в одном из этих направлений, то результат заведомо не будет целиком ориентирован в противоположном направлении, т. е. даст одно из значений n, n — 2, n — 4, …, 2 — n, но не — n.)
Рис. 6.29. Общее состояние с высшим спином для массивной частицы может быть описано как совокупность состояний со спином 1/2, ориентированных в произвольных направлениях
В частном случае при n = 1, как в приведенном выше примере с электроном, мы получим одну точку на сфере Римана. Это — просто точка, помеченная значением q в приведенных выше описаниях. Но для состояний с высшим спином картина, как я только что описал, значительно усложняется, хотя надо заметить, что это описание почему-то не очень знакомо физикам.
В этом описании есть нечто весьма удивительное. Часто высказывают мнение, что в некотором подходящем пределе квантовые описания атомов (или элементарных частиц, или молекул) с необходимостью переходят в классические ньютоновские описания, когда система увеличивается в размерах и усложняется. Но в такой формулировке такое утверждение просто неверно. Ибо, как мы только что видели, спиновые состояния объекта с большим угловым моментом соответствуют большому числу точек, разбросанных по сфере Римана[161]. Мы можем мысленно представлять себе спин объекта как состоящим из целого множества спинов 1/2, ориентированных по всем различным направлениям, задаваемыми этими точками. Лишь весьма немногие из таких комбинированных состояний, а именно когда большинство точек концентрируются вместе в небольшой области на сфере (т. е. когда большинство спинов 1/2 направлены примерно в одном и том же направлении), соответствуют реальным состояниям углового момента, которые мы обычно обнаруживаем у классических объектов, например, у крикетных шаров. Мы могли бы ожидать, что если выбрать спиновое состояние, в котором полный спин окажется равным (в единицах ħ/2) некоторому очень большому числу, а в остальном это выбор будет «случайным», то начнет возникать нечто похожее на классический спин. Но в действительности все происходит совсем не так. В общем случае квантовые спиновые состояния с большим полным спином совсем не похожи на классические спиновые состояния!
Как же в таком случае следует устанавливать соответствие с угловым моментом из классической физики? Хотя большинство квантовых состояний с большим спином не похожи на классические состояния, они представляют собой линейные комбинации (ортогональных) состояний, каждое из которых похоже на классическое состояние. Каким-то образом над системой оказывается произведенным «измерение», и состояние «скачком» переходит в то или другое состояние, похожее на классическое. Ситуация здесь аналогична той, которая складывается с любым другим классически измеримым свойством системы, а не только с угловым моментом. Именно этот аспект квантовой механики должен вступать в игру всякий раз, когда система «выходит на классический уровень». Более подробно я расскажу об этом в дальнейшем, но прежде чем мы сможем обсудить такие «большие» или «сложные» квантовые системы, нам необходимо хотя бы несколько разобраться в том странном способе, которым квантовая механика пользуется при рассмотрении систем, состоящих более чем из одной частицы.
