Александр Филиппов - Многоликий солитон

Рассмотрим движение из начального состояния, в котором возбуждена одна 1-я мода (обозначим ее период буквой Т). Сначала действительно начинается перекачивание энергии в другие моды. Однако никакой хаотичности в этом не наблюдается (см. рис. 7.2). При t 20 Т возбуждена в основном 3-я мода. Затем начинает «солировать» 2-я мода (при t 28 Т). При t  44 Т энергия оказывается сосредоточена в 3-й моде, и при t 56 Т снова возвращается к 1-й. Более высокие моды возбуждаются мало, максимальная энергия 4-й моды меньше половины энергии первой (т. е. полной энергии), а 5-я мода может получить не более шестой части полной энергии. На рис. 7.2 изображены вычисленные отклонения грузиков в различные моменты времени (масштаб по оси y для удобства сильно увеличен).

Может быть, это случайность? Нет, при увеличении числа грузиков, при изменении α, при изменении самой формы нелинейной силы (скажем, β(Δl)3 вместо α(Δl)2) это явление сохраняется. Моды не сливаются в общий беспорядочный хор, а выделяют несколько солистов, которые выступают по очереди, остальные им аккомпанируют. Когда возвращается первый солист, все начинается сначала! Время возвращения Тв (в нашем случае Тв 56 Т) зависит от числа N, от вида нелинейности, но солирование низших мод и возвращение при Т = Тв наблюдалось всегда.

Полученный результат можно наглядно изобразить простой музыкальной пьесой (см. рис. 7.3).

Здесь «записаны» моды, которые последовательно звучат на струне, соответствующей нашей системе грузиков. Каждой моде соответствует нота: 1-й — нижнее «до», 2-й — «до» октавой выше и т. д. *). Изображенные нотами моды звучат в отдельные моменты, только громкость мы изобразили длительностью звучания ноты. В два раза более громкая нота звучит у нас в два раза дольше и т. д. На рис. 7.3 представлена только половина «пьесы», далее происходит возвращение к начальному «до» в обратном порядке.

*) Нижнее «до» большой октавы имеет частоту примерно 64 Гц. Будем просто считать, что параметры нелинейной системы грузиков подобраны так, что частота 1-й моды равна 64 Гц.

Итак, вместо ожидаемой какофонии, когда одновременно звучат с одинаковой силой все моды, получается примитивная, но вполне музыкальная пьеса. Нелинейная система ведет себя действительно совершенно неожиданно. На начальное возбуждение она отвечает целой пьесой. Если возбудить систему иначе, скажем, начать со 2-й моды, получится другая пьеска. Не «струна», а небольшой композитор-автомат! Кстати, к современным ЭВМ нетрудно присоединить устройства, которые будут преобразовывать движения струны в такие музыкальные пьесы. Они будут звучать гораздо интересней, чем пьеса, изображенная здесь, так как все переходы от одного аккорда в другой происходят непрерывно, а кроме того, есть небольшая примесь высших мод, которая даст богатый тембр...

Признаемся, что музыкальная аналогия не приходила в голову авторам рассказанной замечательной работы, однако их результат удивителен и без всяких аналогий. Удивил он и нескольких других физиков и математиков, которые начали методично разбираться, в чем тут дело. Особенно заинтересовались явлением Ферми — Пасты — Улама американские физики Мартин Крускал и Норман Забуски, которые познакомились с ним «из первых рук». Они продолжили машинные эксперименты и, кроме того, начали размышлять, не похожа ли нелинейная струна на что-нибудь знакомое. Сначала они просто повторяли численные эксперименты Ферми — Пасты — Улама (мы будем, как это принято, пользоваться сокращением ФПУ). Потом попробовали изучить движения непрерывной струны, в которую переходит цепочка ФПУ при неограниченном увеличении числа грузиков и уменьшении расстояний между ними. После многих проб и ошибок они пришли к удивительному результату — наилучшее описание движений такой нелинейной струны при достаточно малых отклонениях ее от положения равновесия дается уравнением Кортевега — де Фриза!

Возвращение солитона Рассела

И долго ждал ты час,

назначенный судьбой...

Вы, конечно, помните, что Кортевег и де Фриз получили свое уравнение при попытке найти точное математическое описание солитона Рассела с небольшой амплитудой. Теперь выясняется, что то же самое уравнение может описывать совершенно другие физические явления. Это, конечно, не случайно. Уравнение КдФ годится для математического описания самых разных нелинейных волн. На самом деле это простейшее уравнение для любых слабо нелинейных и слабо диспергирующих волн.

Если оба эти эффекта (нелинейность и дисперсия) настолько малы, что ими можно пренебречь, то уравнение КдФ описывает волны произвольной формы, бегущие в одном направлении. Иными словами, форма волны y (t, х) задается произвольной функцией у (t, х) = f (x - v0t). Для волн на мелкой воде v0 = , где h — глубина. Напомним, что воду можно считать мелкой, если минимальная длина синусоидальных волн (λ), входящих в разложение Фурье функции f, во много раз превышает глубину h. Чтобы не думать о разложении Фурье, можно просто считать, что волна имеет синусоидальную форму.

Если теперь допустить, что имеется малая дисперсия, т. е. что фазовая скорость v синусоидальной волны немного зависит от λ, то простейшая зависимость будет иметь вид (ср. с формулами (5.17), (5.21))

где α — некоторое число, а v0 = . Для уравнения КдФ, описывающего волны на мелкой воде, α = 2/3π2. Однако для волн в других средах значение α будет другим, а величина h, имеющая размерность длины, будет иметь совсем иной смысл.

В гл. 5 мы уже сравнивали дисперсию длинных волн на мелкой воде и в цепочке упруго связанных атомов (формулы (5.21) и (5.17)) и убедились, что зависимость фазовой скорости от λ имеет при больших значениях λ один и тот же вид. Достаточно заменить h на 1/2α, где α — расстояние между атомами, и из закона дисперсии волн на воде получится закон дисперсии длинных волн в цепочке атомов. Зная этот удивительный факт, совсем не трудно додуматься и до того, что в других физических системах закон дисперсии длинных волн может быть таким же. Однако такая мысль многие десятилетия никому не приходила в голову. Может быть, это произошло потому, что волнами на воде и в кристаллах интересовались разные исследователи, может быть, по другим причинам... Во всяком случае, ясная идея о существовании такого универсального закона дисперсии длинных волн сформировалась совсем недавно, уже в эпоху общего увлечения солитонами.

Чтобы теперь понять — как устроены волны КдФ, нужно ввести простейшую мыслимую нелинейность. Мы знаем, что скорость линейных диспергирующих волн не зависит от амплитуды, а зависит лишь от длины волны. Скорость же распространения нелинейных волн зависит и от амплитуды. Самая простая зависимость — линейная, когда рост скорости прямо пропорционален увеличению амплитуды. Именно она и реализуется для волн КдФ, а будучи самой простой, естественно, встречается и во многих других физических системах. Забуски и Крускал обнаружили, что такая нелинейность хорошо описывает нелинейные взаимодействия атомов в решетке. Еще раньше, в 1958 г., советский физик Р. З. Сагдеев подметил аналогию между некоторыми волнами в плазме и волнами на мелкой воде и показал, что в плазме также могут распространяться уединенные волны. Плазмой в это время уже занимались многие физики, и это наблюдение не осталось незамеченным. Вскоре удалось показать, что эти волны в плазме также можно описывать с помощью КдФ-уравнения. Это решило судьбу КдФ-уравнения, которое было извлечено из забвения и стало известно широкому кругу физиков и математиков. Знаменитым оно стало после того, как 3абуски и Крускал выяснили, что оно описывает солитоны, которые не изменяются после столкновения друг с другом, и что можно найти его самое общее решение. Это удалось в 1967 г. американским ученым Гарднеру, Грину, Крускалу и Миуре. От их работы обычно отсчитывают начало бурного развития науки о солитонах.

Выглядит уравнение КдФ совсем не страшно. Форма волны y (t, х) в момент времени t должна подчиняться соотношению

Здесь точкой обозначена производная по времени при фиксированном значении координаты х, а штрихом — производная по координате в заданный момент времени t. Если нарисовать зависимость профиля волны у от координаты, то этот график будет двигаться и деформироваться с течением времени. При этом у определяет наклон касательной к графику в точке х в момент t, а — скорость движения точки графика у (t, х) по направлению оси у. Если в некоторый момент времени t нам известна зависимость у от х (в том числе и производные у', y'', у'''), то уравнение позволяет найти скорости всех точек графика, так что можно приближенно определить его вид в следующий момент t + Δt: