Александр Филиппов - Многоликий солитон
Итак, независимость мод связана с линейностью сил, связывающих грузики. Если нарушить линейность (скажем, пружины не подчиняются закону Гука), то можно ожидать, что движения грузиков станут хаотичными, по крайней мере в том случае, когда число грузиков N достаточно велико. Примерно так думало большинство физиков, в том числе и Энрико Ферми. Впрочем, возможно, что у Ферми были кое-какие сомнения на этот счет. Вероятно, его интересовало также, сколь большим должно быть число N. Достаточно ли велико N = 100 или же надо взять N = 1 000 000? *) К сожалению, Ферми не успел получить ответа на этот вопрос. Так или иначе, но первый серьезный вопрос, который он решил задать ЭВМ, был вопрос об установлении теплового равновесия в цепочке грузиков и нелинейных пружин. Результат машинного эксперимента оказался совершенно неожиданным.
*) В конце 50-x годов были выполнены компьютерные расчеты поведения 100 твердых шаров в кубическом ящике, размер которого примерно в 100 раз больше диаметра шаров. Оказалось, что столкновения между шарами довольно быстро приводят к хаотическому (максвелловскому) распределению их скоростей. Для хаотизации оказалось достаточно 150—200 столкновений.
ЭВМ удивляет Энрико Ферми
Энрико Ферми был одним из величайших физиков нашего века — теоретиком и экспериментатором. Его имя навсегда связано с открытием и освоением ядерной энергии, исследованием элементарных частиц и со многими другими областями физики. Менее известно, что он многие годы серьезно интересовался различными нелинейными явлениями, а незадолго до смерти заинтересовался турбулентностью и выполнил несколько работ по гидродинамике. Одна из них сделана совместно с фон Нейманом, и, возможно, что не без влияния фон Неймана Ферми начал думать об освоении неизвестных земель «нелинейной физики» с помощью экспериментов на ЭВМ.
Прежде чем рассказывать об этих экспериментах, надо все же сказать хоть несколько слов о Ферми и фон Неймане, этих двух великих ученых, заложивших основы для многих крупнейших достижений науки и техники ХХ в. В их судьбах можно проследить поразительные параллели. Ферми родился двумя годами раньше фон Неймана, а прожили они до обидного мало, оба ушли из жизни в 53 года, в тот момент, когда были полны новых замыслов. И Ферми, и фон Нейман были одарены от природы необычайными способностями к научной работе и, сверх того, абсолютной памятью.
Способности фон Неймана в математике и лингвистике проявились необычайно рано. Известно, что в возрасте 6 лет он любил обмениваться с отцом шутками на древнегреческом языке, а впоследствии свободно говорил и писал на нескольких языках. Известным его хобби было изучение истории, в особенности культуры Византии. Говорят, что в этой области он был первоклассным специалистом. Естественно, что о таком человеке рассказывали множество историй и легенд.
Стоит привести одну подлинную историю, рассказанную Г. Голдстайном, много лет знавшим фон Неймана и работавшим вместе с ним над созданием одной из первых в мире ЭВМ. Молодой ученый обратился к фон Нейману с просьбой помочь найти долго не дававшееся ему доказательство придуманной им теоремы. Нейман немедленно, не задумываясь, дал это доказательство и записал его на доске. Через неделю юноша подошел к нему на приеме, еженедельно устраивавшемся Нейманом для друзей и сотрудников, и, смущаясь, сказал, что не может вспомнить доказательство. В ответ Нейман тут же, в заполненной гостями комнате, почти слово в слово повторил доказательство!
Столь же легендарной личностью был Ферми. Инженер Адольф Амидей, снабжавший пятнадцатилетнего Ферми книгами по математике, вспоминает, что «...Энрико достаточно было прочесть книгу один раз, чтобы знать ее в совершенстве. Когда он возвращал прочитанную книгу Дини по математическому анализу, я предложил ему оставить ее у себя, чтобы он мог заглядывать в нее. Ответ Ферми был поразительным: — Благодарю Вас, в этом нет нужды, я уверен, что запомнил все необходимое. Вообще, несколько лет спустя я буду понимать ее основные идеи еще более отчетливо, и если мне понадобится какая-нибудь формула, я легко выведу ее». Многочисленные свидетельства учеников и сотрудников Ферми подтверждают, что юный Энрико вполне объективно оценивал свои уникальные способности.
Встреча двух универсальных гениев — физика и математика — произошла в Америке, куда оба уехали, не пожелав оставаться под властью фашистских режимов. Ученик и сотрудник Ферми Эмилио Ceгpe, открывший вместе с О. Чемберленом и другими антипротон (1955 г.), рассказывает: «Ферми был чем-то вроде оракула, к которому любой физик мог обратиться за помощью. Мне помнится, как он и фон Нейман обсуждали гидродинамические задачи. Это было похоже на соревнование у доски в кабинете Ферми — кто первым решит поставленную задачу (первым обычно оказывался фон Нейман, который умел фантастически быстро считать). Однажды я прервал такое обсуждение, так как первоклассный знаток электроники из моей группы не мог справиться с новой и очень трудной задачей. Дело было срочное, и мы в отчаянии заглянули к Ферми. Примерно за 20 минут он придумал схему, которая могла решить вопрос... Другим оракулом лаборатории был фон Нейман. Однажды один известный физик-экспериментатор и я целый день безуспешно ломали голову над задачей, для решения которой нужно было взять некий интеграл. Поставивший нас в тупик интеграл был написан на доске, когда мы увидели идущего по коридору фон Неймана. «Не можете ли Вы помочь нам с этим интегралом?» — спросили мы у него. Фон Нейман глянул на доску и продиктовал ответ. Мы совершенно остолбенели. Подобные примеры можно было бы приводить без конца. Оба оракула относились друг к другу с дружбой и восхищением, а общий интерес к компьютерам укреплял эту дружбу. Ферми был знатоком численных расчетов и сразу же обратил внимание на перспективы использования быстродействующих ЭВМ. Он затратил много времени на освоение ЭВМ и много работал на них. Выдающаяся роль фон Неймана в разработке ЭВМ, без сомнения, общеизвестна».
Работа, о которой мы собираемся рассказать, была сделана в лабораториях Лос-Аламоса, возникших в связи с атомным проектом. Впоследствии эти лаборатории стали также одним из главных центров изучения нелинейных явлений, в частности хаоса. Не случайно, что Фейгенбаум сделал свое открытие будучи сотрудником этих лабораторий. Даже самым оригинальным и независимым умам для работы необходима определенная атмосфера. Что такое эта «атмосфера», определить очень трудно, еще труднее ее создать. В Лос-Аламосе такая атмосфера была, и работа Фейгенбаума появилась не на пустом месте.
Но вернемся к задаче, поставленной Ферми перед ЭВМ. Вместе с математиками Станиславом Уламом и Джоном Пастой он в 1952 г. задумал выполнить обширные машинные эксперименты по исследованию нелинейных задач. Первой из них и была задача о порождении теплового хаоса в цепочке грузиков с нелинейными пружинками. Как вспоминал С. Улам: «Ферми часто говорил, что будущие фундаментальные физические теории будут, вероятно, основаны на нелинейных уравнениях, и поэтому было бы полезно попрактиковаться в математике, необходимой для понимания нелинейных систем. План состоял в том, чтобы начать с простейшей, по возможности, физической модели... затем постепенно увеличивать сложность и общность решаемых на машине задач... Решение всех этих задач послужило бы подготовкой к установлению, в конце концов, модели движений системы, в которой должны были бы наблюдаться «перемешивание» и «турбулентность»... За одно лето Ферми весьма быстро научился программировать задачи для ЭВМ и мог не только спланировать общую схему расчета, но и самостоятельно провести подробное программирование всей задачи. Результаты вычислений, проведенных на старой машине МАНИАК, оказались интересными и весьма неожиданными для Ферми. По его мнению, они явились некоторым откровением». Машина сумела настолько удивить Ферми, что он, уже будучи смертельно больным, интересовался продолжением расчетов и говорил, что эта одна из самых важных задач, с которыми он когда-либо встречался. Что же так поразило Ферми?
Ферми, Паста и Улам предложили машине рассчитать колебания системы из 32 грузиков, связанных пружинками, которые при растяжении их на Δl создают возвращающую силу kΔl + α(Δl)2. При этом нелинейная поправка α(Δl)2 считалась малой по сравнению с основной, линейной силой kΔl. Таким образом, машина должна была решать систему из 32 уравнений, подобных уравнениям (4.8), но с добавленными в правой части нелинейными силами α [(xi+1 - xi)2 - (xi - xi-1)2]. Так как эти добавки малы, то можно следить не за движением отдельных частиц, а за изменением синусоидальных мод линейных уравнений, получающихся при α = 0. При α 0 моды перестают быть независимыми, и энергия медленно (по сравнению с их периодами) перекачивается из одной моды в другую.
