Александр Филиппов - Многоликий солитон
Притягивающее множество в научной литературе называют аттрактором. Например, аттрактор маятника с трением состоит из единственной точки нижнего положения равновесия. Аттрактор раскачиваемых качелей — периодическое движение, при котором потери на трение точно компенсируются энергией, затрачиваемой на раскачивание. Аттрактор нашей блошиной модели имеет весьма сложную структуру. При b 1,5 движение блохи периодическое — она регулярно перескакивает с одной ветки на другую. На линиях B1B1' характер движения меняется скачком, так как число ветвей удваивается. Это очень типичное для нелинейных систем явление называется бифуркацией (от слова bifurcate — раздваиваться, разветвляться). При увеличении b наша система переходит через последовательность бифуркаций в область хаотического движения (для блохи хаос означает свободу; увеличивая свою постоянную, она может перейти из «царства необходимости» в «царство свободы»).
Любопытно, что в этом царстве свободы время от времени (точнее, при некоторых значениях b) возникают «островки необходимости» — движение вновь становится периодическим. Однако если при b 1,5 период равен 2n, то в этих островках он равен 3, 5, 7 и т. д.
Вся эта картина соотношения между периодическими и хаотическими движениями — удвоение периода, переход к хаотическому движению, появление островков периодичности — типична для многих физических систем. Притягивающее множество, на котором движение хаотично, называют «странным аттрактором».
Внимательный читатель, который не поленился самостоятельно выполнить численные эксперименты с блошиной моделью, мог бы обнаружить замечательную закономерность в бифуркациях. Обозначим величины блошиной постоянной в точках бифуркаций буквами bn, так что b1 = -0,25, b2 = 0,75 и т. д. Оказывается, что при больших значениях n разности этих чисел образуют геометрическую прогрессию. Точнее, выполнено соотношение
(bn+1 - bn)/(bn - bn-1) → 1/δ, δ = 4,6692 ...
Эту замечательную закономерность открыл американский физик Митчел Фейгенбаум в 1975 г. Он изучал на карманной вычислительной машинке модель, очень похожую на изученную нами. Обнаружив эту закономерность, он стал исследовать другие отображения и вскоре понял, что открыл новый закон природы. Убедить в этом других ученых, оказалось не так-то просто, два-три года журналы не принимали его статьи. Однако в наше время есть много других способов обнародовать свое открытие, например научные конференции, и вскоре исследование бифуркаций и хаоса стало одной из наиболее модных научных тем. Число называется теперь постоянной Фейгенбаума, а найденная им закономерность в распределении бифуркаций — законом подобия Фейгенбаума.
Изучению таких моделей посвящается сейчас немало серьезных научных работ, и блошиная модель заимствована из современного физического журнала. Это, конечно, только первый шаг на пути к пониманию турбулентности, но похоже, что он выведет на дорогу, двигаясь по которой можно будет полностью разобраться в природе этого сложного явления. «Так о великих вещах помогают составить понятье малые вещи, пути намечая для их достиженья» (Лукреций Кар).
Турбулентное поведение может возникать даже в простых физических системах. Раньше физиков в основном интересовал хаос несколько иного происхождения — молекулярный хаос, возникающий в системах из очень большого числа взаимодействующих друг с другом частиц. Уже Д. Бернулли и Ломоносов понимали, что тепловые явления объясняются беспорядочным движением молекул. Однако только после работ Клаузиуса, Максвелла и Больцмана это представление превратилось в настоящую физическую теорию.
В этой теории природа происхождения совершенно беспорядочных движений молекул приписывалась очень частому столкновению молекул между собой. При столкновениях они обмениваются энергией, и молекулы в основном имеют энергии, близкие к среднему значению, одинаковому для всех молекул (тепловой энергии). Легко понять, что молекулы воздуха при комнатной температуре действительно должны двигаться совершенно хаотично. В 1 л воздуха содержится n = NА/22,4 л 3·1022 молекул (NА — постоянная Авогадро). Их средняя скорость v равна (где R — газовая постоянная), т. е. около 200 км/ч! Среднее расстояние l, которое молекула пробегает без столкновений, легко оценить с помощью соображений размерности. Оно очевидно зависит от размера молекул d и от числа молекул в единице объема и равно примерно l 1/(d2n), т. е. l 10-5 см. Поэтому в 1 с молекула испытывает примерно v/l 1010 столкновений!
В таких условиях, конечно, нет никакого смысла следить за движением отдельной молекулы. Все они находятся в равном положении, можно говорить лишь об их средней скорости и средней энергии, которые и определяют давление и температуру газа. Что, однако, произойдет, если уменьшать число молекул в единице объема или понижать температуру? Столкновения будут становиться все реже и реже, а в конце концов движение может потерять неупорядоченный характер.
До какого предела движение останется хаотическим и можно пользоваться для описания его состояния такими усредненными характеристиками, как давление и температура? Ни Максвелл, ни Больцман не знали ответа на этот вопрос, да и сейчас, сто лет спустя, мы не умеем на него ответить. Возможно, что на столь общий вопрос и нет единственного ответа. Естественно попробовать сузить вопрос.
Что происходит при понижении температуры? При достаточно низкой температуре газ превратится в твердое тело. Рассмотрим поэтому движение частиц в кристалле. Сделаем еще одно упрощение и возьмем одномерный кристалл, который мы привыкли заменять моделью грузиков, связанных пружинками. Вот тут-то и выявляется в совершенно обнаженном виде самая суть вопроса. При достаточно низкой температуре грузики (молекулы) колеблются около своих положений равновесия, и беспорядок выражается в том, что фазы их колебаний распределены совершенно хаотически. Амплитуды колебаний и максимальные скорости также должны беспорядочно изменяться, но в среднем они должны быть одинаковы для каждого грузика. Возможен ли такой молекулярный беспорядок в модели грузиков?
Ответ на это, на первый взгляд, отрицательный. Вспомним линейную теорию движений грузиков, с которыми мы познакомились в гл. 4. Мы выяснили, что все движения системы из N грузиков представляют собой сумму N мод. Если бы при этом вначале была одна гармоника с частотой , то через время Т1 = 1/ наша система возвратилась бы в начальное состояние.
Если возбуждены все N независимых мод, то такое возвращение произойдет за время ТN = 1/, где — минимальная частота...
Ч и т а т е л ь. Постойте! А не нужно ли нам учесть трение?
А в т о р. Вы забыли, что мы имеем дело с молекулами, а не с реальными грузиками и пружинками! С молекулярной точки зрения, трение — это просто перераспределение энергии — переход энергии упорядоченного движения в энергию хаотического теплового движения. Если пренебречь внутренней структурой молекул и их взаимодействием с окружающей средой, то ни о каком трении говорить нельзя.
Ч и т а т е л ь. Я, может быть, неточно выразился. Я хотел сказать, что модель, в которой моды не зависят друг от друга, лишь приближенная. На самом деле они как-то связаны друг с другом?
А в т о р. Конечно, связаны, и естественно предположить, что взаимодействие одной гармоники с остальными будет приводить к потере ею энергии, т. е. действовать подобно трению. Тогда упорядоченное движение одной гармоники будет переходить в хаотическое движение остальных.
Итак, независимость мод связана с линейностью сил, связывающих грузики. Если нарушить линейность (скажем, пружины не подчиняются закону Гука), то можно ожидать, что движения грузиков станут хаотичными, по крайней мере в том случае, когда число грузиков N достаточно велико. Примерно так думало большинство физиков, в том числе и Энрико Ферми. Впрочем, возможно, что у Ферми были кое-какие сомнения на этот счет. Вероятно, его интересовало также, сколь большим должно быть число N. Достаточно ли велико N = 100 или же надо взять N = 1 000 000? *) К сожалению, Ферми не успел получить ответа на этот вопрос. Так или иначе, но первый серьезный вопрос, который он решил задать ЭВМ, был вопрос об установлении теплового равновесия в цепочке грузиков и нелинейных пружин. Результат машинного эксперимента оказался совершенно неожиданным.
