Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

133. Меткий выстрел

Артиллерийский расчет после долгих вычислений и пристреливаний производит залп по намеченной цели, в которую на сей раз они – уж будьте покойны, ваше благородие! – совершенно точно попадут. Расстояние до цели L, снаряд стартует под углом 45° к поверхности земли – «Готовьсь. Цельсь. Пли!». Но вот же незадача: в самой верхней точке своей траектории снаряд разрывается ровно надвое, причем одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле, а вторая продолжает полет в том же направлении, что и раньше, т. е. параллельно поверхности земли. Удастся ли этой второй, более удачливой половине поразить цель и куда вообще она упадет?

1. Нетрудно посчитать, что она перелетит цель и упадет на расстоянии 3/2 L от орудия.

2. А у задачи вообще есть решение?

3. Поскольку импульс снаряда после разделения на две части не поменялся, то не изменится и траектория – упадет туда, куда и было задумано.

Формально, решение элементарно: импульс снаряда перед разрывом и после один и тот же (обозначим его p0), при этом речь о наивысшей точке – т. е. направление импульса в этот момент параллельно поверхности земли. Одна половинка полетела строго вниз, значит, импульса вдоль поверхности земли у нее вообще нет – по закону сохранения импульса он весь остался на второй половинке, полетевшей горизонтально. Импульс у нее p0, масса вдвое меньше первоначальной – соответственно, скорость вдвое выше, чем была. Время спуска у нее такое же, как у неразорвавшегося снаряда (определяется предельной высотой и ускорением свободного падения g, – получается, пролетит она вдвое дальше. То есть в составе снаряда пролетела L/2, а отдельно пролетит еще 2 × L/2 – всего, выходит, 3/2L.

Но обратите внимание на условие: «одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле» – следовательно, у первой половины снаряда появляется вертикальная компонента импульса. А у второй – нет (продолжает лететь параллельно земле). Притом что до разрыва они летели вровень с землей, значит, если одна помчалась вниз, другая с неизбежностью должна подскочить вверх – иначе никакой закон сохранения импульса не выполняется. В результате имеем некорректно поставленную задачу, без решения.

Послесловие

Радость от ума

В магазине – акция: «Купи две вещи, получи третью в подарок!», и мелким шрифтом приписано: «В подарок по акции предназначена вещь наименьшей стоимости из трех». Уже на кассе жена меня спрашивает:

– А что нам делать, если вещей у нас шесть? Пробивать в два чека? А как их распределить?

– В первый чек все самое дешевое, во второй – самое дорогое. Тогда твоя скидка будет максимальной, – отвечаю наобум, просто чтобы ее успокоить, дать какой-то алгоритм. Но пока стоим в очереди, обдумываю эту задачу. И она мне нравится все больше и больше.

Правильный ли ответ я дал? Давайте посмотрим. Есть шесть товаров с разной ценой, для определенности пусть они стоят 1, 2, 3, 4, 5 и 6 руб. Пробиваем два чека, в одном из них с необходимостью будет товар ценой 1 руб., и именно такой будет скидка по этому чеку. Значит, нужно сделать так, чтобы во втором чеке самый дешевый товар был как можно дороже. Это возможно сделать, только если два самых недорогих товара (из оставшихся пяти) поместить в первый чек – а это вещи ценой 2 и 3 руб. Тогда в первом чеке у нас товары за 1, 2 и 3 руб., во втором – за 4, 5 и 6. Получается, совет жене я дал совершенно правильный. Нетрудно распространить это правило и на любое другое число товаров, кратное трем: рассуждая аналогичным образом, мы получим, что всегда нужно группировать товары по цене (по возрастанию или по убыванию) и в каждом чеке пробивать ближайшие «тройки». Можно еще задаться вопросом: если покупаешь три вещи, что выгоднее – чтобы они были в разную цену или одну и ту же? Несложно показать, что максимальная скидка (33 %) достигается, когда вещи стоят одинаково, в противном случае она может быть значительно ниже (в примере трех вещей ценой в 1, 2 и 3 руб. скидка составляет 1/6 = 17 %).

Эта задача кажется мне замечательной вот по какой причине: она наглядно показывает, что сложные расчеты и рассуждения применимы не только в высокой академической науке, но и в самой что ни на есть приземленной, мещанской сфере, к каковой, вне всяких сомнений, относятся промоакции в магазинах. Казалось бы, никакой связи – а она есть. Любите науку, это взаимно!

Основная литература по теме

Часть заданий в книге – переработанные классические задачи. Список литературы, содержащей исходные задачи и горячо рекомендуемой к прочтению:

Арнольд В. И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. – М.: МЦНМО, 2004.

Гарднер М. Крестики-нолики. – М.: Мир, 1988.

Дербишир Дж. Простая одержимость. – М.: Астрель, 2010.

Люка Ф. Математические развлечения. – СПб.: Книжный Клуб Книговек, Северо-Запад, 2010.

Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М.: Наука, 1975.

Смаллиан Р. Как же называется эта книга? – М.: ИД Мещерякова, 2007.

Стюарт И. Величайшие математические задачи. – М.: Альпина нон-фикшн, 2015.

Фелдман Д. Непостижимости. – М.: КоЛибри, 2007.

Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. – М.: МЦНМО, 2007.

Сноски

1

g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения в поле притяжения Земли вблизи ее поверхности.

2

Флуктуация (от лат. fluctuatio – колебание) – любое периодическое изменение. – Прим. ред.

3

«Бешеные псы» – культовый фильм американского режиссера Квентина Тарантино, снятый в 1991 г.

4

Фудзияма, Фýдзи – действующий вулкан на о. Хонсю в Японии.

5

Эту замечательную задачу автор подсмотрел в книге И. Стюарта «Величайшие математические задачи» (см. «Основная литература по теме»).

6

Владимир Игоревич Арнольд (1937–2010) – один из крупнейших математиков XX века, ученик Андрея Николаевича Колмогорова. Был ярким популяризатором науки, в частности, написал книгу «Задачи для детей от 5 до 15 лет» (см. «Основная литература по теме»), именно в ней он признается в том, что вопрос про арбузы – один из его любимых.

7

С этой задачи начинается замечательная книга «Простая одержимость» Джона Дербишира (см. «Основная литература по теме») про одну из главных (и до сих пор не разгаданных) математических загадок – гипотезу Римана.

8

Фейнман Р. «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» – М.: АСТ, 2014.

9

Эту задачу предложил Вениамин Григорьевич Левич (1917–1987) – советский физик, ученик Л. Д. Ландау.

10

А эта задача была предложена Петром Леонидовичем Капицей (1894–1984).

11

Задача предложена Аркадием Бейнусовичем Мигдалом (1911–1991), академиком АН СССР, участником советского атомного проекта.

12

Дейтерий – тяжелый водород, в составе ядра у которого один протон и один нейтрон (у обычного водорода – только протон, а у сверхтяжелого трития протон и два нейтрона).

13

Задачу предложил Яков Борисович Зельдович (1914–1987) – академик АН СССР, участник советского атомного проекта.

14

Джон Уильям Стретт, третий барон Рэлей, лорд Рэлей (1842–1919) – британский физик и механик.

15

Лев Давидович Ландау (1908–1968) и Евгений Михайлович Лифшиц (1915–1985) – советские ученые, авторы фундаментального курса по теоретической физике (издание в 10 томах).

16

Получается пайкой пластин из двух различных металлов.

17

Еще одна задача от Я. Б. Зельдовича (см. задачу № 99).

18

Диполь – это система из двух близкорасположенных зарядов, одинаковых, но противоположных по знаку (соответственно, полный заряд диполя равен нулю).

19

Диссоциация воды – явление, при котором молекула воды распадается на ионы, положительно заряженный водород (H+) и отрицательно заряженный HO–.

20

Еще одна задача от А. Б. Мигдала (см. задачу № 97).

21

Графен – искусственный кристалл на основе углерода, за его получение А. Гейм и К. Новосёлов были удостоены в 2010 году Нобелевской премии по физике.

22

Этот вопрос великий физик и популяризатор науки Ричард Фейнман (1918–1988) задал в одной из своих видеолекций.