Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин

Исходные параметры

портфеля

Результаты

расчётов

тыс.

долл.

тыс.

долл.

тыс.

долл.

%

А

108

10

100

8

0,1

1,25

0,21

В

112

20

96

16,7

0,208

1,25

0,21

При этом, судя по равным значениям коэффициентов вариации и, как следствие, портфели, и, являются равноценными по уровню вероятности отрицательной доходности.

Характерной особенностью рассмотренного критерия является то, что сопоставление безрискового актива с рискованным активом по уровню вероятности отрицательной доходности не представляется возможным. Действительно, если в качестве эталона используется безрисковый актив (), то согласно соотношению 8.2 доходность равноценного рискованного актива не определённа. Кроме того, вероятность отрицательной доходности безрискового актива всегда равна нулю, а вероятность отрицательной доходности рискованного актива находится в пределах от нуля до единицы.

8.3. Равноценные активы по уровню вероятности пониженной доходности относительно безрисковой ставки

Инвестиционный риск, обусловленный финансовыми потерями в области отрицательной доходности, является очевидным негативным фактором инвестиций в рискованный актив. Однако и часть области положительной доходности, в которой доходность рискованного актива ниже доходности безрискового актива, также относится к негативному фактору инвестиций в рискованный актив. Поэтому для инвестора, несомненно, полезна информация об уровне вероятности пониженной и повышенной доходности рискованного актива относительно безрисковой ставки. Такая информация позволяет сопоставлять рискованные активы на объективной основе.

Если стоимость рискованного актива равна, то доходности рискованного и безрискового активов будут равными при уровне дохода

Следовательно, область отрицательной доходности в совокупности с частью области положительной доходности (или в целом область) является областью пониженной доходности рискованного актива по отношению к безрисковой ставке, поскольку в данной области.

Для области характерна повышенная доходность рискованного актива по отношению к безрисковой ставке, поскольку в данной области.

Для наглядности области пониженной и повышенной доходности рискованного актива по отношению к безрисковой ставке представлены на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Области пониженной и повышенной доходности рискованного актива по отношению к безрисковой ставке

По аналогии с п. 8.2 в качестве комплексного критерия сопоставления активов воспользуемся вероятностью пониженной доходности относительно безрисковой ставки.

Используя результаты, полученные в п.п. 7.1 и 7.2 определим вероятности пониженной и повышенной доходности рискованного актива относительно безрисковой ставки.

Вероятность пониженной доходности рискованного актива рассчитывается по формуле

где.

Вероятность повышенной доходности рискованного актива определяется как

Учитывая соотношение (8.3), представим аргумент интеграла вероятностей в виде

Два актива и равноценны по уровню вероятности пониженной доходности, а, следовательно, и по уровню вероятности повышенной доходности, если выполняются условия

где и — значения доходов, при которых доходности рискованных активов и соответственно равны безрисковой ставке.

Очевидно, что при равенстве вероятностей пониженной доходности активов и «автоматически» соблюдается и равенство вероятностей повышенной доходности этих активов.

Учитывая соотношения (8.4) и (8.5) получаем условие выполнения данных равенств

где и — аргументы интегралов вероятностей для активов и соответственно.

Таким образом, приходим к выводу, что в общем случае равноценными по вероятности пониженной и повышенной доходности является совокупность активов с равными значениями отношений

При фиксированном значении вероятности пониженной доходности по аналогии с п. 8.2 можно доказать, что равноценные активы располагаются на прямой, уравнение которой имеет вид.

В дальнейшем для определённости будем полагать, что плотности распределения доходов сопоставляемых активов соответствуют нормальному распределению, и, как следствие, для этих активов, а также. В этом случае равноценными по уровню вероятности пониженной и повышенной доходности являются активы с одинаковыми значениями аргумента интеграла вероятностей.

При фиксированном значении вероятности пониженной доходности и, следовательно, при фиксированном значении аргумента интеграла вероятностей, зависимость представляет собой линейное уравнение равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности. На рис. 8.4 представлены графики зависимости, рассчитанные для нескольких значений вероятности пониженной доходности для безрисковой ставки.

Рис. 8.4. Линии равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности для безрисковой ставки

Анализ рис. 8.4 показывает, что совокупность линий равноценных активов исходит из точки, соответствующей безрисковому активу с параметрами и. Вероятность пониженной доходности безрискового актива всегда равна нулю, поэтому безрисковый актив не может быть равноценным любому рискованному активу, а точка с координатами не является частью линии равноценных активов.

Аргумент интеграла вероятностей является не чем иным как тангенсом угла наклона линии равноценных активов к оси абсцисс, причём, чем больше угол наклона, тем меньше вероятность доходности. Данное свойство может быть использовано для выявления портфеля с минимальным значением вероятности пониженной доходности актива из достижимого множества. На рис. 8.5 представлено достижимое множество портфелей (заимствованное из рис. 1.5) и линия равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности, которая является касательной в точке к эффективному множеству для безрисковой ставки.

Рис. 8.5. Линия равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности, как касательная в точке к достижимому множеству портфелей для безрисковой ставки

В результате расчётов установлено, что касательный портфель, обладает минимальным значением вероятности пониженной доходности актива из достижимого множества. Действительно, линия равноценных активов при большем угле наклона к оси абсцисс не может иметь общих точек с достижимом множеством, а при меньшем —. Касательный портфель с минимальным значением вероятности пониженной доходности относительно безрисковой ставки может представлять интерес для осторожного инвестора.

Вероятность пониженной доходности может быть использована и как комплексный критерий сопоставления двух активов и, когда один из них является эталоном.

При нормальном распределении дохода, формула (8.6) преобразуется к виду

Очевидно, что это выражение справедливо при равенстве аргументов интеграла вероятностей

После преобразований данного равенства получаем уравнение

Данное уравнение и уравнение линии рынка капитала (3.1) модели САРМ формально идентичны. Принципиальное их отличие состоит, как в технологии вывода, так и в трактовке инвестиционных качеств рискованных активов, которые описываются данными уравнениями. Если в модели САРМ уравнение (8.7) позволяет определить доходность «оптимального» портфеля, содержащего безрисковый и рискованные активы (см. п. 1.5), то в данном случае это же уравнение характеризует совокупность равноценных активов по уровню вероятности пониженной (повышенной) доходности относительно безрисковой ставки.

Таким образом, МО доходности актива, равноценного с активом по уровню вероятности пониженной доходности, имеет линейную зависимость от СКО доходности этого актива с коэффициентом пропорциональности и свободным членом, равным безрисковой ставке.

Рассмотрим особенности рассмотренного критерия применительно к портфелям и, параметры которых приведены в табл. 8.1. Учитывая, что эти портфели равноценны по вероятности отрицательной доходности, сравним их инвестиционные качества по вероятности пониженной доходности для случая и безрисковой ставки. Исходные параметры и результаты расчётов сведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Параметры сопоставляемых портфелей и

Портфель

,