Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин
8.5. Доходности равноценных рискованного и безрискового активов
Основываясь на здравый смысл, в портфельной теории Г.Марковица — У.Шарпа утверждается, что математическое ожидание доходности рискованного актива непременно должно быть выше доходности равноценного безрискового актива. А два рискованных актива могут быть равноценными, если актив с большим средним квадратическим отклонением доходности имеет и большее математическое ожидание доходности [1].
Таким образом, в соответствии с идеологией портфельной теории Г.Марковица — У.Шарпа относительно низкая устойчивость доходности одного актива, равноценного с другим активом, должна быть соответствующим образом компенсирована дополнительной доходностью — премией за инвестиционный риск.
Для сопоставления активов в [1] предлагается модель ценообразования на капитальные активы (модель САРМ), несостоятельность которой доказывается в п. 3.4. Рассмотренные в п.п. 8.2–8.4 комплексные критерии вида предназначены для сопоставления исключительно рискованных активов, но неприменимы для сопоставления безрисковых активов с рискованными активами. Ограниченные возможности разработанных комплексных критериев затрудняют полноценное выполнение процедур инвестиционного процесса, которые предусматривают, в частности, сравнительный анализ инвестирования в безрисковые и рискованные активы.
Используя соотношение (1.1), определим стоимость рискованного актива, при которой достигается МО доходности, равное доходности безрискового актива
Примечательно, что с формальной точки зрения равенство означает равноценность рискованного и безрискового активов, если в качестве критерия сопоставления использовать только МО доходностей активов и не принимать во внимание различия в уровнях СКО доходностей. Тем не менее, очевидно, даже на интуитивном уровне, что при рискованный актив менее привлекателен для инвестора.
На рис. 8.8 показаны области пониженной и повышенной доходности рискованного актива при его стоимости.
Рис. 8.8. Области пониженной и повышенной доходности применительно к рискованному активу стоимостью
Анализ рис. 8.8 показывает, что принципиальное отличие рискованного актива от безрискового заключается в наличии области пониженной доходности. Причём вероятность пониженной доходности рискованного актива недопустимо высока и составляет 0,5. Поэтому при рискованный актив объективно менее привлекателен для инвестора.
Предположим, что математическое ожидание стоимости рискованного актива соответствует, а среднее квадратическое отклонение стоимости равно. Необходимо определить стоимость и МО доходности рискованного актива, равноценного безрисковому активу с доходностью.
Учитывая соотношение (1.3), можно доказать, что неравенство выполняется при условии. Следовательно, стоимость рискованного актива, равноценного с безрисковым активом, находится в пределах, а область пониженной доходности такого актива ограничивается пределами (см. рис. 8.3). Согласно соотношению (8.3) граница между областями пониженной и повышенной доходности определяется как. При условии часть области повышенной доходности формирует дополнительный доход или премию за инвестиционный риск (рис. 8.9).
Рис. 8.9. Область пониженной доходности и область премии за инвестиционный риск
Таким образом, при генерируются не только потери, но и формируется дополнительный доход. Рискованный актив равноценен безрисковому активу, если средний дополнительный доход равен средним потерям.
Для определения стоимости и МО доходности рискованного актива, равноценного безрисковому активу с доходностью, воспользуемся подходом, рассмотренным в п. 7.2.
Средние потери, формируемые областью пониженной доходности, определяются по формуле
где.
Средний дополнительный доход, формируемый областью, определяется как
Как уже отмечалось, компенсация потерь за счёт дополнительного дохода (премии за инвестиционный риск) достигается при условии
Принимая во внимание, что, из условия (8.9) получаем соотношение для стоимости рискованного актива, равноценного с безрисковым активом
Для предельных значений СКО стоимости актива полученное соотношение приводится к виду:
(т. е. при рискованный актив трансформируется в безрисковый актив);
Данные формулы получены с использованием известных в математике приближённых соотношений (см. приложение 2).
В частном случае для нормальной плотности распределения дохода рискованного актива получаем
Условие (8.9) можно преобразовать также в уравнение
где — коэффициент, характеризующий степень усечения нормального распределения в относительных единицах.
Для предельных значений СКО доходности рискованного актива соотношение (8.10) приводится к виду:
(т. е. при рискованный актив трансформируется в безрисковый актив);
(т. е. при средняя доходность рискованного актива асимптотически приближается к постоянной величине).
В частном случае для нормальной плотности распределения дохода рискованного актива
Следует отметить, что уравнение (8.10) позволяет численными методами представить МО доходности рискованного актива как функцию СКО доходности и безрисковой ставки, т. е. как. При фиксированном уровне безрисковой ставки зависимость является уравнением равноценных рискованных активов. На рис. 8.10 приведены зависимости, рассчитанные для нескольких фиксированных значений безрисковой ставки при.
Рис. 8.10. Линии равноценных рискованных активов по уровню безрисковой ставки при
При совокупность рискованных активов с МО доходности равноценна безрисковому активу с доходностью. Следовательно, рискованные активы из данной совокупности являются равноценными и между собой.
Характер зависимости уровня премии как функции СКО доходности несложно выявить, используя, например, графики на рис. 8.10. Для этого необходимо из ординаты вычесть соответствующее значение. Применительно к исходным данным, которые были использованы для расчёта графиков на рис. 8.10, максимальный уровень премии за инвестиционный риск находится в пределах 5,4–5,6 %.
Для демонстрации возможностей предложенного подхода по выявлению равноценных рискованных активов оценим стоимость, СКО и МО доходности портфелей ценных бумаг и, исходные параметры которых приведены в п. 1.4 и сведены в табл. 8.5. При этом будем полагать, что оба портфеля должны быть равноценны безрисковому активу, который обладает доходностью, а плотности распределения доходов обоих портфелей достаточно близки к нормальным.
Таблица 8.5
Исходные параметры и результаты расчётов значений, и портфелей и, равноценных безрисковому активу с доходностью
Портфель
Исходные параметры
портфеля
Результаты
расчётов
тыс.
долл.
тыс.
долл.
тыс.
долл.
%
А
108
10
97,1
0,103
11,2
В
112
20
93,2
0,215
20,2
Анализ результатов расчётов свидетельствует о равноценности безрискового актива с доходностью и портфелей, и, Установлено, что из — за сравнительно высоких значений СКО доходностей премия за инвестиционный риск портфелей и весьма значительна и составляет 7,2 % и 17,2 % соответственно.
Предложенный подход может быть использован также для решения типовой задачи инвестора по сопоставлению рискованных активов. Так, если известны МО и СКО доходностей активов (и), то представляется возможным с использованием формул (8.10) или (8.11) определить и доходности равноценных безрисковых активов. Актив с наибольшим значением для инвестора является наиболее привлекательным.
Например, пусть два сопоставляемых портфеля ценных бумаг и имеют параметры, которые сведены в табл. 8.6. Предположим, что текущие стоимости этих портфелей составляют 96,2 и 91,5 тыс. долл. соответственно.
Таблица 8.6
Результаты расчётов доходности безрискового актива, равноценного портфелям и
Портфель
Исходные параметры
портфеля
Результаты
расчётов
тыс.
долл.
тыс.
долл.
тыс.
долл.
%
%
А
108
10
96,2
12,3
0,104
4,0
В
112
20
91,5
22,4
