Питер Бернстайн - Против богов: Укрощение риска

Достижения де Муавра в решении этой проблемы стоят в ряду наиболее важных математических открытий. Используя вычисления и основные свойства треугольника Паскаля, составляющие содержание биномиальной теоремы, де Муавр демонстрирует, как ряд случайных испытаний, подобных опытам Бернулли с кувшином, приводит к распределению результата вокруг среднего значения. К примеру, предположим, вы вытащили сто камешков подряд из кувшина Якоба, каждый раз возвращая камешек в кувшин и фиксируя отношение числа черных и белых камешков. Теперь предположим, вы выполнили серию таких опытов по сто испытаний в каждом. Де Муавр смог бы заранее приблизительно сказать вам, сколько из этих отношений будут близки к среднему отношению в суммарном числе испытаний и как эти отдельные отношения будут распределены относительно этого среднего.

Распределение де Муавра ныне известно как нормальная, или, в соответствии с ее формой, колоколообразная кривая. Эта кривая показывает, что наибольшее число наблюдений группируется в центре, вблизи среднего значения, вычисленного для суммарного числа наблюдений. Она симметрично спускается по обе стороны от среднего значения, вблизи его круто, а затем все более полого. Другими словами, результаты наблюдений, далекие от среднего значения, менее вероятны, чем близкие к нему.

Форма кривой де Муавра позволила ему вычислить статистическую меру ее дисперсии относительно среднего значения. Эта мера, известная как стандартное или среднее квадратичное отклонение{*1}, чрезвычайно важна для решения вопроса о том, включает ли в себя совокупность наблюдений достаточно репрезентативную для изучаемой совокупности выборку. В нормальном распределении приблизительно 68% результатов наблюдений оказываются в пределах одного среднего квадратичного отклонения от среднего значения и 98% — в пределах двух средних квадратичных отклонений.

Среднее квадратичное отклонение может сказать нам, не имеем ли мы дело со случаем «голова-в-духовке-ноги-в-холодильнике», когда любые рассуждения о среднем являются бессмысленными. Среднее квадратичное отклонение может также сказать нам, что 25 550 манипуляций с камешками Якоба позволяют весьма точно оценить соотношение числа черных и белых камешков в кувшине, поскольку относительно малое число наблюдений будет сильно отличаться от среднего значения.

Де Муавр был поражен закономерностью, которая проявлялась с увеличением числа случайных и независимых наблюдений; он относил эту упорядоченность к предписаниям Всемогущего. Это приводит к мысли, что при правильно выбранных условиях измерения можно в самом деле преодолеть неопределенность и приручить риск. Используя курсив, чтобы подчеркнуть значение сказанного, де Муавр так подытожил свои исследования:

«Случай порождает Отклонения от закономерности, однако бесконечно велики Шансы, что с течением Времени эти Отклонения окажутся пренебрежимо ничтожными относительно повторяемости того Порядка, который естественным образом является результатом БОЖЕСТВЕННОГО ПРЕДНАЧЕРТАНИЯ».[13]

Вкладом де Муавра в математику был инструмент, который сделал возможной оценку вероятности того, что заданное число наблюдений попадет в некоторую область вокруг истинного отношения. Этот результат нашел широкое практическое применение.

Например, все производители опасаются того, что результатом сборки может оказаться бракованная продукция, которая дойдет до потребителей. Стопроцентное качество в большинстве случаев практически невозможно — наш мир, похоже, непоправимо враждебен совершенству.

Представьте себе директора булавочной фабрики, который старается добиться, чтобы бракованные булавки встречались не чаще, чем в 10 случаях из 100 000, то есть чтобы брак составлял не более 0,01% от объема производства[14]. Для контроля дел он проводит обследование произвольной выборки из 100 000 сошедших с конвейера булавок и выясняет, что у 12 нет головок — на 2 больше, чем он надеялся получить в среднем по всей производимой продукции. Насколько значима эта разница? Какова вероятность найти 12 бракованных булавок из выборки объемом в 100 000, если средний процент брака составляет 10 бракованных булавок на каждый 1 000 000? Нормальное распределение и среднее квадратичное отклонение де Муавра дают ответ на этот вопрос.

Но обычно вопрос ставится по-иному. Чаще никто точно не знает, сколько именно бракованных изделий в среднем выпускает фабрика. Вопреки благим намерениям действительная доля брака может оказаться в среднем выше, чем 10 из 100000. Что скажет выборка из 100000 булавок о вероятности того, что для всей выпускаемой продукции брак в среднем составляет 0,01%? Насколько более точные сведения можно получить из выборки объемом в 200 000 булавок? Какова вероятность того, что процент брака окажется в пределах от 0,009% до 0,011%? А в пределах от 0,007% до 0,013%? Какова вероятность того, что одна наугад взятая булавка окажется бракованной?

Здесь исходными данными являются 10 булавок, 12 булавок, 1 булавка, а вероятность оказывается искомой величиной. В такой постановке задача сводится к вычислению так называемой обратной вероятности: какова вероятность того, что по всей произведенной продукции брак составляет в среднем 0,01%, если в выборке из 100000 булавок оказалось 12 бракованных?

Одно из наиболее эффективных решений этой задачи было предложено пастором Томасом Байесом, который родился в 1701 году и жил в Кенте[15]. Байес был нонконформистом. Он отвергал большинство обрядов англиканской церкви, перенятых ею от католической после отделения от Рима во время правления Генриха VIII.

Хоть Байес и был членом Королевского общества, известно о нем немного. В одном довольно скучном и безликом учебнике статистики он характеризуется как «загадочная личность»[16]. При жизни он не издал ни одного сочинения по математике и оставил только две работы, которые были опубликованы после его смерти, но не смогли обратить на себя должного внимания.

Тем не менее одна из этих работ, «О решении проблемы в теории случайностей» («Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances»), оказалась замечательно оригинальным произведением, которое обессмертило имя Байеса среди статистиков, экономистов и других представителей социальных наук. В нем заложены основы современных методов статистического анализа, начало работы над которыми было положено трудами Якоба Бернулли.

После смерти Байеса в 1761 году, согласно составленному за год до того завещанию, рукопись этой работы и сто фунтов стерлингов достались «Ричарду Прайсу, в настоящее время, как я полагаю, пастору в Ньюингтон-Грин»[17]. Любопытно, что у Байеса были столь неверные сведения о Прайсе, фигуре тогда намного более важной, чем простой священник в маленьком городке графства Кент.

Ричард Прайс был человеком высоких нравственных принципов, страстным поборником свободы вообще и свободы вероисповедания в частности. Он был убежден, что свобода дана человеку Богом и поэтому является непременным условием нравственного поведения, и утверждал, что лучше быть свободным грешником, чем рабом. В 1780 году он написал книгу об американской революции с чрезвычайно длинным названием: «Соображения о значении американской революции и путях превращения ее во всемирное благо» («Observations on the Importance of the American Revolution and the Means of Making it a Benefit to the World»), в которой выразил свою веру в то, что революция была предначертана Богом. Рискуя собой, он заботился о перемещенных в Англию американских военнопленных. Он был другом Бенджамина Франклина и хорошо знал Адама Смита. Смит отсылал Франклину и Прайсу некоторые главы книги «О богатстве народов» («The Wealth of Nations») для чтения и критических замечаний.

Одна разновидность свободы беспокоила Прайса: свобода заимствования. Он был глубоко озабочен величиной национального долга Британии, выросшего в результате войн с Францией и с колонистами Северной Америки. Он сетовал по поводу непрекращающегося накопления государственного долга и называл его «величайшим национальным злом»[18].

Но Прайс был не просто священником и страстным поборником свободы. Он известен также как математик, который за работы в области теории вероятностей был принят в члены Королевского общества.

В 1765 году три человека из страховой компании, носящей название «Общество справедливости» (Equitable Society), пригласили Прайса помочь им в составлении таблиц смертности, на основе которых должны были определяться размеры сборов при страховании жизни и продаже пожизненной ренты. После изучения среди прочих трудов Галлея и де Муавра Прайс опубликовал по этому вопросу две статьи в «Philosophical Transactions»; его биограф Карл Кон сообщает, что голова Прайса поседела за одну ночь от напряжения при работе над второй из этих статей.