Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

Итак, принимая во внимание высокую степень развития сегодняшнего математического аппарата, а также тот факт, что прогресс математической науки стимулируется не только внешними по отношению к ней побудительными причинами, но и внутренними факторами, вопрос о выборе тематики исследований становится для математиков весьма тревожным. Я считаю, что если не все, то во всяком случае многие из них должны в своей работе обращаться к первоисточникам, то есть к приложениям математики. Это необходимо для того, чтобы влить новую свежую струю в научные исследования, чтобы более активно применять весьма эффективные математические методы на практике.

Поскольку всё живое в нашей жизни имеет диалектический характер, хотел бы, подчеркивая значимость прикладных исследований, предостеречь от обращения их в свою противоположность под внешне как будто «верной» оболочкой. Я имею в виду математическую мистификацию практических задач, от которой не бывает пользы ни уму, ни сердцу. В последнее время можно встретить, например, так называемые экономико-математические работы, насыщенные сложной математической символикой, но не содержащие ни одного конкретного, численного примера, — непонятные, недоступные и фактически ненужные экономистам, а с точки зрения математиков — представляющие ничтожную ценность, либо вообще не обладающие ею.

В последнее время опасными становятся математические спекуляции в теоретической физике и в технических науках. Дело доходит до того, что серьёзная работа в области техники может быть ошельмована на том основании, что в ней нет математических обоснований, хотя всем может быть ясна практическая пригодность исследования. Для математики обидно, что иногда её привлекают для бутафории, для того, чтобы спрятать бедность и немощность той или иной специальной работы (например, в биологии и медицине). Обидно прежде всего за то, что действительное, правильное применение математики в специальных исследованиях может дать весьма ощутимый эффект.

Нужно признать, и я об этом заявлял (см. «Успехи математических наук», том 33, вып. 6 (204), 1978, с. 21), что некоторые дела в области математики сильно запущены из-за нашей собственной беспечности и непонимания происходящего.

К числу таких запущенных дел принадлежит положение с математическим образованием в средней школе. Реформа преподавания, проведённая более 10 лет назад, привела его, на мой взгляд, к странному состоянию. Об этом мне уже довелось выступать на страницах газеты «Социалистическая индустрия» (21 марта 1979 года — статья «Этика и арифметика»), вместе с моими коллегами в журнале «Математика в школе» (1979, № 3).

Пищу для печальных раздумий даёт письмо тринадцати старшеклассниц из Вильнюса, опубликованное в «Комсомольской правде» 12 марта 1978 года — «Бесталанные ученики?», неубедительно, по-моему, прокомментированное. В нём было выражено настоящее отчаяние: «Нам никак не одолеть программу по математике... Многого не понимаем, зубрежкой не всё возьмёшь... Такие заумные учебники... Вот и ходим мы в «дебилах», как называют нас учителя...»

Однако всеобщая тревога возникла гораздо раньше. О преподавании математики заговорили повсюду, начиная с семей, в которых есть дети-школьники, и кончая высокими инстанциями. Родители обеспокоились, что, имея даже инженерное образование, они не понимают излагаемого в школе материала и не могут помочь своим детям в приготовлении уроков. Не ясен и смысл этого материала. Среди школьных педагогов — растерянность и недоумение по поводу новых программ. От многих из них мне приходится получать письма, в которых это выражено весьма эмоционально.

О причинах данного явления я узнал из телевизионного выступления министра просвещения СССР М. А. Прокофьева (в 1979 году). Он сообщил, что двенадцать лет тому назад некоторыми авторитетами было признано, что математика, преподававшаяся тогда в средней школе, отстала от требований времени и потому её нужно «модернизировать». Нет слов, в определённых усовершенствованиях школьная математика нуждалась, но осуществлённые мероприятия не улучшили, а ухудшили положение. В результате, в частности, возникли те учебные программы и пособия, по которым ныне и учатся математике в школе.

На одном совещании мне довелось услышать из уст академика-физика: «Совершенно понятно, почему родители даже с инженерным образованием не понимают школьной математики, — ведь это современная математика, а они учили только старую...» Вот, оказывается, в чём «секрет». Тут уж у меня самого возник вопрос: зачем же детям такая математика в средней школе, что в ней не могут разобраться даже специалисты с высшим техническим образованием?

В современных условиях закономерно возросли требования к содержанию программ по математике и их конкретной реализации в учебниках. Осуществлённый в последние годы пересмотр содержания школьного курса математики, включение в него элементов математического анализа, теории вероятностей и так далее можно в принципе рассматривать как явление прогрессивное. Однако в основу изложения авторы ныне действующих учебников положили теоретико-множественный подход, отличающийся повышенной степенью абстракции и предполагающий определённую математическую культуру, которой школьники не обладают и не могут обладать. Её нет и у большинства преподавателей. Что же в итоге произошло? Искусственное усложнение учебного материала и непомерная перегрузка учащихся, внедрение формализма в содержание обучения и отрыв его от жизни, от практики. Многие важнейшие понятия школьного курса математики (такие, как понятие функции, уравнения, вектора и т.д.) стали труднодоступными для сознательного усвоения их учащимися.

На определённом этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественная концепция ввиду её новизны стала модной, а увлечение ею — превалировать над конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход — лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в её движении к конкретным задачам, к практике. Современные школьные учебники по математике поэтому — шаг назад в трактовке этой науки, они несостоятельны по своему существу, поскольку выхолащивают суть математического метода.

Нет ничего предосудительного в том, чтобы в средней школе употреблялось «множество» как слово русского языка. Так, определение окружности можно дать в двух вариантах. Первый: «Окружность состоит из всех точек плоскости, отстоящих от заданной точки на одном и том же расстоянии». Второй: «Окружность есть множество всех точек, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки». Второй вариант определения окружности ничем не хуже и не лучше первого. И слово «множество» совершенно безвредно, а, в общем, бесполезно. Но в модернизированных учебниках и программах оно возведено в ранг научного термина, и это повлекло за собой уже серьёзные последствия. Сразу же появились и такие понятия, как «пересечение множеств», «объединение множеств», «включение множеств». И вводятся соответствующие значки. Кажущиеся нам, математикам-профессионалам, очень понятными, эти выражения и значки не так уж легко воспринимаются учениками, а главное — они не нужны для понимания школьных истин математики.