Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

Не тем же ли обусловлены и рассуждения о некоем «предмете философии математики», суть-де которого составляют «свойства и отношения математики, о присущности или неприсущности которых мы (т.е. он, автор. — Л. П.) можем судить, опираясь на категории и положения философии»? Философские категории и положения у написавшего приведённые строки «выступают в роли базиса (основания), необходимого для решения философских проблем математики».

Боюсь, что при таком подходе автор удаляется не только от самой математики, но и от той научной философии, которая служит фундаментом господствующего в нашем обществе мировоззрения, методологии нашего познания. Действительно, рассуждения о «формальной математике» (само это выражение не может не покоробить учёного-математика) как о «совокупности формальных теорий, главными интерпретациями которых являются системы математических объектов», представляются мне не иначе как словесным сором, а умозрения, что, мол, «понятие формулы (предложения) языка является чисто синтаксическим (формальным), не опирающимся на содержание (семантику) и независимым от него», — принципиально ложными. Определение же: «Под формальной теорией понимается правильное подмножество... формул формального языка» — бессмыслицей.

Всё это могло бы быть только забавным, если бы не дезориентировало умы, не вносило (ввиду распространения массовым тиражом) искажённых представлений в сознание широкой читающей общественности, особенно молодёжи, формирующийся ум которой особенно впечатлителен и восприимчив.

Зрелый специалист, обладающий должной профессиональной культурой, наделён иммунитетом против подобных приведённым выше «идей» — он лишь иронически пожмёт плечами. Ну кто, спрашивается, из математиков станет представлять элементарную арифметику «подмножеством... формул формального языка», как это делает данный автор? Специфической особенностью «формальных теорий», согласно ему, является то, что их «предложения» распознаются неким «эффективным методом» лишь «на основе их формы вне зависимости от содержания». «Самое же главное, — пишет он, — заключается в том, что формальные теории строятся и развиваются независимо от семантики, или интерпретаций (если не считать эвристического значения интерпретаций)».

Как это понимать?.. Да, форма может иметь специфические особенности своего развития, но отнюдь не независимо от логики развития содержания.

Это уже философские азы, указывать на которые просто неловко.

Абстрактность математики — производное, следствие её специфической природы, а не наоборот; абстракция есть логический акт, производный от содержательной деятельности; «форма как таковая» есть определённая содержательная предметная деятельность, состоящая в воспроизведении стороны предметов, явлений, процессов объективного мира; рассмотрение её «самой по себе», вне этой предметной деятельности приводит в конце концов к отождествлению предмета науки с её «языком», то есть к соскальзыванию в идеализм, в метафизику. Отождествление предмета теории с её формальным аппаратом приводит к тому, что математика — в представлениях горе-философов — вырождается в лингвистику (подобно тому как аналогичная тенденция приводит теоретическую лингвистику, наоборот, к отождествлению с математикой).

Не стану более задерживаться на этом вопросе, равно как и на критике несовершенств и искажений в случайно попавшей мне в руки брошюре. Можно было бы привести и другие примеры — они стали возникать в большом количестве, как головастики в весенних водах, и в общем не заслуживали бы внимания. Но любой землепашец знает, сколь опасна сорная трава на культурной ниве. Если своевременно не принимать мер, она может агрессивно распространиться, забивая собою злаки. И вот что хотелось бы подчеркнуть: ложные идеи способны исказить поле сознания, стихийная цепная реакция их — породить ложные тенденции в нашей жизни. А это уже не может не тревожить.

Я думаю, любого специалиста не могут не заботить дальнейшие судьбы той области, в которой протекает его деятельность, её кадрового обеспечения. Люди, некомпетентные в математике, но имеющие отношение к организации научных исследований и подготовке специалистов, вообще к системе просвещения и образования, питаясь «чтивом», подобным приведённому выше, могут невольно оказаться дезориентированными и совершать ошибочные действия, чреватые далеко идущими последствиями.

Вопрос о том, например, чем следует заниматься, стоит для самих математиков, быть может, острее, чем для представителей других областей знания. Возникшая в свое время в ответ на практические нужды, математика имела, имеет и будет иметь своей основной задачей изучение окружающего нас материального мира с целью его дальнейшего освоения человеком. В то же время у неё, разумеется, есть и своя внутренняя логика развития, в силу которой учёные создают весьма отвлечённые теоретические построения, не связанные непосредственно с окружающей нас действительностью и не сразу находящие для себя в ней приложения.

Мне знакомо восхищение замечательной стройностью и своеобразной красотой подобного рода построений. Однако оно не может служить единственным оправданием их существования. Математика не музыка, красота которой доставляет радость и широкой аудитории немузыкантов. Эстетическое наслаждение, порождаемое лишь математической красотой, способен испытать только узкий круг специалистов, и создавать ценности исключительно в этом смысле — значит заведомо искажать высокое предназначение математики, замкнув её только на себя и тем самым фактически заставив работать на холостом ходу.

Я не собираюсь утверждать, что обладающие внутренней стройностью, но лишённые непосредственного практического значения разделы математики не имеют права на существование; они включены в самую ткань науки, иссечение которой могло бы привести к нарушению всего её организма. Кроме того, оказывается, что некоторые отделы математики, лишённые практических приложений в течение многих веков, позже находят такие приложения. Классическим примером служат кривые второго порядка, созданные в древности из внутренних потребностей «чистой» науки и нашедшие лишь позже очень важное применение. С другой же стороны, некоторые разделы математики, посвящённые лишь её внутренним проблемам, оставаясь «вещью в себе», постепенно вырождаются и почти наверняка в конце концов оказываются ни для чего не нужными. Думаю, что для впавших в грех таких математических упражнений никакие «философские» обоснования «формальной теории» не послужат ни оправданием, ни утешением. Сказанное, по-видимому, имеет и прямое отношение к «философии для философии» (быть может, кто-нибудь пустит выражение: «формальная философия»? Именно так, наверное, следовало бы окрестить вышеприведённые мудрствования, претендующие на «философские основания математики»). Однако дело философии не в том, чтобы созерцательно объяснять мир, и не в том, чтобы умозрительно изобретать «философские принципы» или «основания» (например, математики), а в том, чтобы исследовать предметную деятельность, служа одновременно методологической основой её преобразования и руководством к практическому действию (в частности, к выбору тематики исследования).