БСЭ - Большая Советская энциклопедия (Но)

Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если оно имеет плотность вероятности . (*)

Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров а и s. При этом математическое ожидание Х равно а, дисперсия Х равна s2. Кривая Н. р. у = р (х;а, s) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением s кривая Н. р. становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном s не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой Н. р., всегда равна единице. При a = 0, s = 1 соответствующая функция распределения равна

.

В общем случае функция распределения Н. р. (*) F (х;а, s) может быть вычислена по формуле F (x;а, s) = Ф (t), где t = (х — а)/s. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность неравенства , равная 1— Ф (k)+ Ф (— k), убывает весьма быстро с ростом k (см. таблицу).

Во многих практических вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих 3s, — т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы, меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0,67449s.

Н. р. встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретическое обоснование исключительной роли Н. р. дают предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

Н. р. может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из основных моделей броуновского движения). Классические примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).

Совместное распределение нескольких случайных величин X1, X2…., Xs называется нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:

qk, l = ql, k — положительно определенная квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a1…., as равны математическим ожиданиям X1…., Xs соответственно, а коэффициент qk, l могут быть выражены через дисперсии s12…., ss2 этих величин и коэффициент корреляции sk, l между Xk и Xl. Общее количество параметров, задающих Н. р., равно

(s + 1)(s + 2)/2 — 1

и быстро растет с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при s = 10). Многомерное Н. р. служит основной моделью статистического анализа многомерного. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н. р. в бесконечномерных пространствах).

О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике).

Лит. см. при ст. Распределения.

Ю. В. Прохоров.

Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и s: I. а = 0, s = 2,5; II. a = 0, s = 1; III. a = 0, s = 0,4; IV. a = 3, s = 1.

Нормальное сечение

Нормальное сечение поверхности S в данной её точке М — линия пересечения S с плоскостью, проведённой через нормаль в точке М. С помощью Н. с. изучается искривление поверхности S в различных (касательных) направлениях, выходящих из точки М. Среди этих направлений имеются два (взаимно перпендикулярных) т. н. главных направления, для которых нормальная кривизна (т. е. кривизна соответствующего Н. с.) достигает наибольшего и наименьшего значений k1 и k2 (т. н. главные кривизны в данной точке); при этом кривизны Н. с. берутся со знаком + (или —), если направление вогнутости (см. Выпуклость и вогнутость) сечения совпадает (противоположно) с положительным направлением нормали к поверхности. Нормальные кривизны поверхности в произвольных направлениях весьма просто выражаются через главные кривизны. Именно, кривизна kn Н. с., проведённого в направлении, составляющем угол j с первым из указанных выше главных направлений, связана с k1 и k2 соотношением (формула Эйлера):

kn = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ.

С помощью кривизн Н. с. изучаются также кривизны наклонных сечений поверхности. Именно, кривизна k наклонного сечения плоскостью a, проходящей через данную касательную прямую а, выражается формулой Менье:

где φ — угол между плоскостью a и нормалью к поверхности, kn — нормальная кривизна поверхности в направлении прямой а. См. также Дифференциальная геометрия, Поверхностей теория, Кривизна.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение, составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по главной нормали к траектории в сторону центра кривизны; Н. у. называется также центростремительным ускорением. Численно Н. у. равно v2/r, где v — скорость точки, r — радиус кривизны траектории. При движении по окружности Н. у. может вычисляться по формуле rw2, где r — радиус окружности, w— угловая скорость вращения этого радиуса. В случае прямолинейного движения Н. у. равно нулю.

Нормальность

Нормальность в химии, концентрация раствора, выраженная числом грамм-эквивалентов растворённого вещества, содержащегося в 1 л раствора. Способ выражения концентрации растворов через Н. широко используется в аналитической химии. См. также Грамм-эквивалент и Концентрация.

Нормальные волны

Нормальные волны, собственные волны, гармонические волны той или иной физической природы (электромагнитные, упругие и др.), сохраняющие при своём прямолинейном распространении поперечную структуру поля и (или) поляризацию. Этим Н. в. отличаются от всех других волн, способных распространяться в данной системе. Например, при распространении между параллельными металлическими плоскостями (рис. 1) электромагнитных Н. в. поперечная (по отношению к направлению распространения) структура электрического поля Н. в. одинакова во всех сечениях. Поперечная же структура любых других волн, отличных от Н. в., при распространении не сохраняется. Так, форма волны, полученной в результате наложения двух Н. в., изображенных на рис. 1, а и б, меняется от сечения к сечению (рис. 1, в).

Наибольший практический интерес представляют электромагнитные Н. в. в волноводных системах, используемых для передачи сообщений или электромагнитной энергии. К ним относятся радиоволноводы СВЧ, коаксиальные кабели, плазменные волноводы, ионосферные и тропосферные каналы дальней радиосвязи, световоды, выполненные в виде стеклянных волокон, т. н. квазиоптические линии передачи волн миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов и т. д.

Важные применения находят Н. в. в акустических волноводных системах (акустические трубы, звуковые каналы в океане и тропосфере), упругие Н. в. — в пластинах (волны Лэмба, т. н. поперечные Н. в.) и стержнях (продольные, изгибные и крутильные Н. в.). Упругие Н. в. применяются, в частности, для создания ультразвуковых линий задержки и для определения упругих и др. параметров твёрдых тел.