Петр Успенский - Tertium organum
Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометрическая аксиома есть закон данной поверхности.
Но что такое поверхность?
Заслуга Лобачевского в том, что он находил необходимым пересмотреть основные понятия геометрии. Но он никогда не шел так далеко, чтобы переоценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как геометра, была только средством обобщения некоторых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности поверхности он, вероятно, совсем не думал.
Таким образом, с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и близость к "сенсуализму" и "обычному эмпиризму", -- а с другой стороны, можно думать, что Хинтон совершенно субъективно приписывает Гауссу и Лобачевскому, что они открыли новую эру в философии.
Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к метагеометрии.
Лобачевский не выходит из сферы трех измерений.
Метагеометрия рассматривает сферу трех измерений как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, понимавший отношение времени к пространству.
Точка трехмерного пространства есть разрез метагеометрической линии. Линии, которые рассматривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения различия геометрии (эвклидовой и неэвклидовой) и метагеометрии. Метагеометрические линии нельзя рассматривать как расстояние между точками в нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры в нашем пространстве.
Рассмотрение возможных свойств линий, лежащих вне нашего пространства, их углов и отношений этих линий и углов к линиям, углам, поверхностям и телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.
Исследователи неэвклидовой геометрии не могли решиться отойти от поверхности. В этом есть что-то прямо трагическое. Посмотрите, какие поверхности придумывал Лобачевский при своих исследованиях 11-го постулата Эвклида (о параллельных линиях, то есть собственно об углах, образуемых линией, пересекающей две параллельные) -- одна из его поверхностей похожа на поверхность лопастей вентилятора*, другая на поверхность воронки. Но отойти от поверхности совсем, бросить ее раз и навсегда, представить себе, что линия может быть не на поверхности, то есть что ряд линий параллельных или близких к параллельным не может быть обобщен ни в какой поверхности и даже вообще в трехмерном пространстве, -- он не мог решиться. И поэтому -- и он и очень многие другие геометры, создавая неэвклидову геометрию, не могли выйти из трехмерного мира.
* Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия, с. 112, 113.
Механика признает линию во времени, то есть такую линию, какую никак нельзя представить себе на поверхности или как расстояние между двумя точками пространства, -- эта линия берется в расчет при вычислении машин. Но геометрия никогда не касалась этой линии и имела дело всегда только с ее разрезами.
* * *
Теперь мы должны вернуться к вопросу: что такое пространство? -- и посмотреть, ответили ли мы на этот вопрос.
Ответом было бы точное определение и объяснение трехмерности пространства.
Этого мы сделать не могли. Трехмерность пространства осталась для нас такой же загадочной и непонятной, как прежде. По отношению к ней мы должны сделать одно из двух:
* или принять ее как данное и прибавить это данное к тем двум данным, которые мы установили вначале;
* или признать неправильность нашего метода рассуждения и попробовать другой метод.
Вообще говоря, исходя из принятых нами двух основных данных мира и сознания, мы должны установить, свойством чего является трехмерное пространство, свойством мира или свойством нашего познания мира.
Начав с Канта, который утверждает, что пространство есть свойство восприятия мира нашим сознанием, мы дальше уклонились от этой идеи и рассматривали пространство как свойство мира.
Мы допустили вместе с Хинтоном, что наше пространство в самом себе несет условия, которые позволяют нам установить его отношения к высшему пространству, и на основании этого предположения построили целый ряд аналогий, кое-что выяснивших для нас в вопросах пространства и времени и их взаимных отношений, но, как мы уже заметили, ничего не разъяснивших относительно главного вопроса о причинах трехмерности пространства.
Метод аналогий вообще довольно мучительная вещь. Вы ходите с ним по замкнутому кругу. Он помогает уяснить некоторые вещи и отношения вещей, но в сущности никогда и ни на что не дает прямого ответа. После долгих и многочисленных попыток разобраться в сложных вопросах при помощи аналогий, вы чувствуете тщетность всех ваших усилий, чувствуете, что с этими аналогиями ходите вдоль стены, -- и тогда вы начинаете испытывать прямо ненависть и отвращение к аналогиям и искать прямого пути, непосредственно ведущего туда, куда вам нужно.
Если мы хотим идти прямым путем, не уклоняясь от него, мы должны строго держаться основных положений Канта. Если же мы с точки зрения этих положений формулируем приведенную выше мысль Хинтона, то получится следующее: мы в себе самих несем условия нашего пространства и поэтому в себе же должны найти условия, которые позволили бы нам установить отношения нашего пространства к высшему.
Иначе говоря, мы должны в нашей психике, в нашем воспринимательном аппарате найти условия трехмерности мира -- и там же найти условия возможности мира высших измерений.
Поставив себе такую задачу, мы становимся на совершенно прямой путь и должны будем получить ответ на наш вопрос: что такое пространство и его трехмерность?
Каким образом можем мы подойти к решению этой задачи?
Совершенно ясно, что путем изучения нашего сознания и его свойств. Мы освободимся от всяких аналогий и станем на правильный и прямой путь к решению основного вопроса об объективности или субъективности пространства, если решим рассмотреть психические формы, в которых нами познается мир, -- и посмотреть нет ли соответствия между ними и трехмерной протяженностью мира. То есть не вытекает ли из известных нам свойств нашей психики это представление трехмерной протяженности мира с его свойствами.
ГЛАВА VIII
Наш воспринимательный аппарат. -- Ощущение. -- Представление. -Понятие. -- Слова и речь. -- Искусство как язык будущего. -- В какой мере трехмерность мира зависит от свойств нашего воспринимательного аппарата? -Что могло бы доказать эту зависимость? -- Где мы можем найти реальное подтверждение этой зависимости? -- Психика животных. -- В чем ее отличие от человеческой? -- Рефлекс. -- Раздражаемость клетки. -- Инстинкт. -- Приятное и неприятное. -- Эмоциональное мышление. -- Отсутствие понятий. -- Язык животных. -- Логика животных. -- Разные уровни психики животных. -- Гусь, кошка, собака и обезьянае
Для того чтобы точно выяснить отношение нашего "я" к внешнему миру и определить, что в нашем восприятии мира принадлежит миру и что принадлежит нам самим, мы должны обратиться к элементарной психологии и рассмотреть механизм нашего воспринимательного аппарата.
Основной единицей нашего восприятия является ощущение. Ощущение есть элементарная перемена в состоянии сознания, производимая, как нам кажется, какой-нибудь переменой в состоянии внешнего мира по отношению к нашему сознанию или переменой в состоянии нашего сознания по отношению к внешнему миру. Физическое тело является здесь частью внешнего мира. Так нас учит физика и психофизика. Мы не будем здесь входить в рассмотрение правильности или неправильности построений этих наук. Для нас достаточно определить ощущение как элементарную переменную в состоянии сознания, как элемент, то есть основную величину этой перемены. Испытывая ощущение, мы предполагаем, что оно является, так сказать, отражением каких-то изменений во внешнем мире.
Испытанные ощущения оставляют известный след в нашей памяти. Накопляясь, воспоминания ощущений начинают сливаться в сознании в группы по сходству, ассоциироваться, слагаться, противополагаться; ощущения, испытываемые обыкновенно в близкой связи одно с другим, будут возникать в памяти в такой же связи. И постепенно из воспоминаний ощущений образуются представления. Представления -- это, так сказать, групповые воспоминания ощущений. При образовании представлений ощущения группируются по двум ясно выраженным направлениям. Первое направление по характеру ощущений, -- так, ощущения желтого цвета будут соединяться с ощущением желтого цвета, ощущения кислого вкуса с ощущением кислого вкуса; и второе -- по времени получения ощущений. Когда в одну группу, образующую одно представление, входят разнообразные ощущения, испытанные одновременно, тогда воспоминание определенной группы ощущений приписывается общей причине. "Общая причина" проектируется во внешний мир как объект, причем предполагается, что данное представление отражает в себе реальные свойства этого объекта. Такое групповое воспоминание есть представление, например, представление дерева -этого дерева. В группу входит зеленый цвет листьев, их запах, тень, шум ветра в ветвях и пр. и пр. Все это, вместе взятое, образует как бы фокус лучей, идущих из сознания, постепенно наводимый на внешний объект, иногда плохо, иногда хорошо совпадая с ним.
