Петр Успенский - Tertium organum
Вообще понимание даже самых основных и простых вещей нашего мира будет бесконечно долгим и трудным для плоского существа.
Оно должно совершенно перестроить свои представления о пространстве и времени. Это должно быть первым шагом. Пока это не сделано, нет ничего. Пока всю нашу Вселенную плоское существо представляет во времени, то есть относит ко времени все, лежащее по сторонам его плоскости, оно никогда ничего не поймет. Чтобы начать постигать "третье измерение", двумерное существо, живущее на плоскости, должно представить себе пространственно свои временные понятия, то есть перенести свое время в пространство.
Чтобы получить только искру правильного представления о нашем мире, оно должно будет совершенно перестроить все свои идеи о мире, -- переоценить все ценности, пересмотреть все понятия, объединяющие понятия разъединить, разъединяющие соединить и, главное, создать бесконечно много новых.
Если мы поставим на плоскость двумерного существа пять пальцев нашей руки, то это будет для него пять отдельных явлений.
Попробуем представить себе мысленно, какую огромную умственную эволюцию должно проделать плоское существо, чтобы понять, что пять отдельных явлений на его плоскости -- это концы пальцев руки большого, деятельного и разумного существа -- человека.
Если мы ясно представим себе всю трудность нарисовать всего человека, со всем богатством его жизненных функций и психической и духовной жизни, по одному только отпечатку его пальцев, то мы поймем трудность постигнуть трехмерный мир для плоского существа.
Разобрать подробно шаг за шагом, как плоское существо переходило бы к пониманию нашего мира, лежащего для него в области таинственного третьего измерения, то есть частью в прошедшем, частью в будущем, -- было бы в высшей степени интересно... но, может быть, совершенно не нужно. Чтобы постигнуть мир трех измерений, плоское существо прежде всего должно перестать быть двумерным -- то есть должно само стать трехмерным, или, иначе говоря, должно почувствовать интересы жизни в трехмерном пространстве. Почувствовав интересы этой жизни, оно уже этим самым отойдет от своей плоскости и никогда не будет в состоянии на нее вернуться. Все больше и больше входя в круг бывших для него раньше совершенно непостижимыми идей и понятий, оно уже станет не двумерным существом, а трехмерным.
ГЛАВА VII
Невозможность математического определения измерений. -- Почему математика не чувствует измерений? -- Полная условность изображения измерений степенями. -- Возможность представить себе все степени на линии. -- Кант и Лобачевский. -- Различие неэвклидовой геометрии и метагеометрии. -- Где должны мы искать объяснения трехмерности мира, если верны идеи Канта? -- Не заключаются ли условия трехмерности мира в нашем воспринимательном аппарате, в нашей психике?
Разобрав теперь "отношения, которые несет в себе самом наше пространство", мы должны вернуться к вопросу о том, что же в действительности представляют собой измерения пространства? И почему их три?
Самым странным для нас должно представляться то, что мы не можем определить трехмерность математически.
Мы плохо сознаем это, и это кажется парадоксом, потому что мы все время говорим об измерении пространства, но это факт. Математика не чувствует протяжений пространства.
Возникает вопрос, как может такое тонкое орудие анализа, как математика, не чувствовать измерений, если они представляют собой какие-то реальные свойства пространства.
Говоря о математике, мы прежде всего должны признать, как основную предпосылку, что всякому математическому выражению соответствует отношение каких-то реальностей.
Если этого нет, если это не верно -- то нет математики. Это ее главная сущность, главное содержание. Выражать отношения, вот задача математики. Но отношения должны быть между чем-нибудь. Вместо алгебраических а, b и с всегда должно быть можно подставить какую-нибудь реальность. Это азбука всей математики. А, b и c -- это кредитные билеты, они могут быть настоящими, и могут быть фальшивыми, если за ними нет никакой реальности.
"Измерения" играют здесь очень странную роль. Если мы изобразим их алгебраическими знаками а, b и с, то они будут иметь характер фальшивых кредитных билетов. Эти а, b и с нельзя заменить никакими реальными величинами, которые выражали бы отношения измерений.
Обыкновенно изображают измерения степенями, первой, второй и третьей, то есть если линию называют а, то квадрат, стороны которого равны этой линии, называют а2, и куб, стороны которого равны этому квадрату, называют а3.
Это, между прочим, дало основание Хинтону строить теорию тессарактов, тел четырех измерений, а4. Но это чистая беллетристика. Прежде всего потому, что изображение "измерений" степенями совершенно условно. Все степени можно изобразить на линии. Возьмем отрезок а, равный пяти миллиметрам, -- тогда отрезок в 25 миллиметров будет его квадратом, то есть а2; а отрезок в 125 миллиметров будет кубом, то есть а3.
Как же понять, что математика не чувствует измерений, -- то есть что математически нельзя выразить разницу между измерениями?
Это можно понять и объяснить только одним -- именно, что этой разницы не существует.
И действительно, мы знаем, что все измерения в сущности тождественны, то есть каждое из трех измерений можно по очереди рассматривать, как первое, как второе, как третье и наоборот. Это уже ясно доказывает, что измерения не есть математические величины. Все реальные свойства вещи могут быть выражены математически в виде величин, то есть числами, показывающими отношение этих свойств к другим свойствам.
Но математика в вопросе об измерениях видит как будто больше нас или дальше нас, через какие-то грани, которые останавливают нас, но не стесняют ее, -- и видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие реальности.
Если бы три измерения соответствовали действительно трем степеням, то мы имели бы право сказать, что только три степени относятся к геометрии, а все остальные отношения высших степеней, начиная с четвертой, лежат за геометрией.
Но у нас нет даже этого. Изображение измерений степенями совершенно условно.
Вернее сказать -- геометрия с точки зрения математики есть искусственное построение для разрешения задач на условных данных, выведенных, вероятно, из свойств нашей психики.
Систему исследования "высшего пространства" Хинтон называет метагеометрией, и он связывает с метагеометрией имена Лобачевского, Гаусса и других исследователей неэвклидовой геометрии.
Мы должны рассмотреть, в каком отношении к затронутым нами вопросам находятся теории этих ученых.
Хинтон выводит свои идеи из Канта и Лобачевского.
Другие, наоборот, противопоставляют идеи Канта идеям Лобачевского. Так, Роберто Бонола в "Неэвклидовой геометрии" говорит, что воззрение Лобачевского на пространство противоположно кантовскому. Он говорит:
Учение Канта рассматривает пространство как некоторую форму субъективного созерцания, необходимо предшествующую всякому опыту; учение Лобачевского, примыкающее скорее к сенсуализму и обычному эмпиризму, возвращает геометрию в область опытных наук. (Роберто Бонола. Неэвклидова геометрия. СПб., 1910, с. 77.)
Какой же взгляд правилен и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к нашей проблеме? Вернее всего будет сказать: ни в каком отношении. Неэвклидова геометрия не есть метагеометрия, и неэвклидова геометрия стоит к метагеометрии в таком же отношении, как Эвклидова геометрия.
Результаты всей неэвклидовой геометрии, подвергшей переоценке основные аксиомы Эвклида и нашедшей свое наиболее полное выражение в работах Больяйя, Гаусса и Лобачевского, выражается в формуле: Аксиомы данной геометрии выражают свойства данного пространства.
Так, геометрия на плоскости принимает все три аксиомы Эвклида, то есть:
1. прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;
2. каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая ее свойств;
3. параллельные линии не встречаются.
(Эта последняя аксиома обыкновенно выражается по Эвклиду иначе).
В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две первые аксиомы, так как меридианы параллельные у экватора у полюсов уже встречаются. Причем в геометрии на сфере сумма трех углов треугольника более двух прямых, а в геометрии на вогнутой поверхности -- меньше двух прямых.
В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая -- о переносе фигур, уже невозможна, так как фигура, взятая в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на другое место. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.
Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометрическая аксиома есть закон данной поверхности.
