Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
42
Если n есть степень простого числа pk, то φ(n) = pk – pk-1. Для произведения простых степеней нужно перемножить эти выражения для всех простых степеней в разложении n на простые множители. Например, чтобы найти φ(675), запишем 675 = 3352. Тогда φ(675) = (33–32)(52–5) = (18)(20) = 360.
43
Более подробно о затронутых вопросах см.: Ian Stewart, Do Dice Play God?, Profile, London (2019), Chapters 15 and 16.
44
L. M. K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta, C. S. Yannoni, M. H. Sherwood and I. L. Chuang. «Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance», Nature 414 (2001) 883–887.
45
F. Arute and others. «Quantum supremacy using a programmable superconducting processor», Nature 574 (2019) 505–510.
46
J. Proos and C. Zalka. «Shor's discrete logarithm quantum algorithm for elliptic curves», Quantum Information and Computation 3 (2203).
47
M. Roetteler, M. Naehrig, K. Svore and K. Lauter. «Quantum resource estimates for computing elliptic curve discrete logarithms», in: ASIACRYPT 2017: Advances in Cryptology, Springer, New York (2017), 214–270.
48
Например, число –25 имеет квадратный корень 5i, потому что
(5i)2 = 5i ∙ 5i = 5 ∙ 5 ∙ i ∙ i = 25i2 = 25(–1) = –25.
Мало того, это число имеет и второй квадратный корень, – 5i, по аналогичным причинам.
49
Алгебраисты загоняют ситуацию в рамки, говоря, что квадратный корень из нуля равен нулю с кратностью два. То есть одно и то же значение возникает дважды в формальном, но вполне понятном смысле. Такое выражение, как x2–4, раскладывается на два множителя, x + 2 умножить на x – 2, которые дают, соответственно, два решения (x = –2 и x = +2) уравнения x2–4 = 0. Аналогично выражение x2 раскладывается на два множителя x умножить на x. Просто так получается, что эти множители одинаковые.
50
Для действительного c функция z(t) = ect подчиняется дифференциальному уравнению dz/dt = cz при начальном условии z(0) = 1. Если мы определим экспоненциальную функцию для комплексного c так, что это уравнение тоже выполняется, что разумно, и положим c = i, то dz/dt = iz. Поскольку умножение на i поворачивает комплексные числа на 90 градусов, касательная к z(t) при изменении t располагается под прямым углом к вектору z(t), так что точка z(t) описывает окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Она проходит по этой окружности с постоянной скоростью один радиан в единицу времени, поэтому в момент времени t ее положение определяется углом в t радиан. Из тригонометрии следует, что это точка cos t + i sin t.
51
Точнее говоря, там должно быть внутреннее произведение, которое определяет расстояния и углы.
52
Самым быстрым суперкомпьютером в 1988 году был Cray Y-MP, который стоил $20 млн (более $50 млн в сегодняшних ценах). Он с трудом потянул бы операционную систему Windows.
53
K. Shoemake. «Animating rotation with quaternion curves», Computer Graphics 19 (1985) 245–254.
54
L. Euler. «Découverte d'un nouveau principe de mécanique» (1752), Opera Omnia, Series Secunda 5, Orel Fusili Turici, Lausanne (1957), 81–108.
55
Свойство половинного угла важно в квантовой механике, где одно из определений квантового спина основано на кватернионах. Если волновая функция такой частицы, как фермион, поворачивается на 360°, ее спин меняется на обратный. (Это не то же самое, что поворот самой частицы.) Чтобы вернуть спин к начальному значению, волновая функция должна повернуться на 720°. Единичные кватернионы образуют «двойное покрытие» вращений.
56
C. Brandt, C. von Tycowicz and K. Hildebrandt. «Geometric flows of curves in shape space for processing motion of deformable objects», Computer Graphics Forum 35 (2016) 295–305.
57
. www.syfy.com/syfywire/it-took-more-cgi-than-you-think-to-bring-carrie-fisher-into-the-rise-of-skywalker.
58
T. Takagi and M. Sugeno. «Fuzzy identification of systems and its application to modeling and control», IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 15 (1985) 116–132.
59
Это JFIF-кодирование, используемое в Сети. EXIF-кодирование для камер включает в файл также «метаданные» с описанием параметров камеры, таких как дата, время и экспозиция.
60
A. Jain and S. Pankanti. «Automated fingerprint identification and imaging systems», in: Advances in Fingerprint Technology (eds. C. Lee and R. E. Gaensslen), CRC Press, (2001) 275–326.
61
N. Ashby. «Relativity in the Global Positioning System», Living Reviews in Relativity 6 (2003) 1; doi: 10.12942/lrr-2003–1.
62
Более точно, Z = Σ exp(–βH), где сумма берется по всем конфигурациям спиновых переменных.
63
Если β = 1/kBT, где kB – постоянная Больцмана, то формула принимает вид:
64
Формула выглядит так:
где H – напряженность внешнего поля, а J – сила взаимодействия между спинами. При отсутствии внешнего поля H = 0, следовательно, sinh(βH) = 0, и вся дробь равна нулю.
65
Y.-P. Ma, I. Sudakov, C. Strong, and K. M. Golden. «Ising model for melt ponds on Arctic sea ice», New Journal of Physics 21 (2019) 063029.
66
S. Tanaka. «Topological analysis of point singularities in stimulus preference maps of the primary visual cortex», Proceedings of the Royal Society of London B 261 (1995) 81–88.
67
«Lobster telescope has an eye for X-rays», http://www.sciencedaily.com/releases/2006/04/060404194138.htm.
68
На формальном языке кривая есть образ границы диска при преобразовании диска в сферу. Кривая может пересекать саму себя, а диск может сминаться.
69
J. J. Berwald, M. Gidea and M. Vejdemo-Johansson. «Automatic recognition and tagging of topologically different regimes in dynamical systems», Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity 3 (2014) 413–426.
70
F. A. Khasawneh
