Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
16
S. J. Brams and A. D. Taylor. The Win-Win Solution: Guaranteeing Fair Shares to Everybody, Norton, New York (1999).
17
Z. Landau, O. Reid and I. Yershov. «A fair division solution to the problem of redistricting», Social Choice and Welfare 32 (2009) 479–492.
18
B. Alexeev and D. G. Mixon. «An impossibility Theorem for gerrymandering», American Mathematical Monthly 125 (2018) 878–884.
19
B. Gibson, M. Wilkinson and D. Kelly. «Let the pigeon drive the bus: pigeons can plan future routes in a room», Animal Cognition 15 (2012) 379–391.
20
Мой любимый пример – это политик, который поднял грандиозный шум по поводу напрасной траты денег на то, что он назвал «теорией лжи» (Lie theory). Слово lie он произносил «лай», то есть «ложь, неправда», и считал, что теория говорит именно об этом. На самом деле все не так. Софус Ли (Sophus Lie) был норвежским математиком, работа которого по непрерывным группам симметрий (группам Ли) и связанным с ними алгебрам имеет фундаментальное значение для обширных областей математики и еще большее – для физики. Политику указали на его заблуждение… но он продолжил выступать ровно так же, как прежде.
21
По техническим причинам мое замечание о пазлах не решает призовую задачу. Если бы решало, я был бы первым.
22
M. R. Garey and D. S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, Freeman, San Francisco (1979).
23
G. Peano. «Sur une courbe qui remplit toute une aire plane», Mathematische Annalen 36 (1890) 157–160.
24
Здесь необходима тщательность, поскольку некоторые действительные числа не имеют единственного десятичного представления, например 0,500000… = 0,499999… Но с этим несложно разобраться.
25
E. Netto. «Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 86 (1879) 263–268.
26
H. Sagan. «Some reflections on the emergence of space-filling curves: the way it could have happened and should have happened, but did not happen», Journal of the Franklin Institute 328 (1991) 419–430. Объяснение см. в: A. Jaffer. «Peano space-filling curves», http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/PSFC.
27
J. Lawder. «The application of space-filling curves to the storage and retrieval of multi-dimensional data», PhD Thesis, Birkbeck College, London (1999).
28
J. Bartholdi. «Some combinatorial applications of spacefilling curves», www2.isye.gatech.edu/~jjb/research/mow/mow.html.
29
H. Hahn. «Über die allgemeinste ebene Punktmenge, die stetiges Bild einer Strecke ist», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 23 (1914) 318–322. H. Hahn. «Mengentheoretische Charakterisierung der stetigen Kurven», Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien 123 (1914) 2433–2489. S. Mazurkiewicz. «O aritmetzacji kontinuóv», Comptes Rendus de la Société Scientifique de Varsovie 6 (1913) 305–311 and 941–945.
30
Опубликовано в 1998 году: S. Arora, M. Sudan, R. Motwani, C. Lund and M. Szegedy. «Proof verification and the hardness of approximation problems», Journal of the Association for Computing Machinery 45 (1998) 501–555.
31
L. Babai. «Transparent proofs and limits to approximation», in: First European Congress of Mathematics. Progress in Mathematics 3 (eds. A. Joseph, F. Mignot, F. Murat, B. Prum and R. Rentschler) 31–91, Birkhäuser, Basel (1994).
32
C. Szegedy, W. Zaremba, I. Sutskever, J. Bruna, D. Erhan, I. Goodfellow and R. Fergus. «Intriguing properties of neural networks», arXiv:1312.6199 (2013).
33
A. Shamir, I. Safran, E. Ronen and O. Dunkelman. «A simple explanation for the existence of adversarial examples with small Hamming distance», arXiv:1901.10861v1 [cs.LG] (2019).
34
Не следует путать граф с графиком функции, который представляет собой кривую, соотносящую переменную x со значением функции f(x). Например, парабола есть график функции f(x)= x2.
35
Спасибо Робину Уилсону, который мягко указал мне на ошибку, когда я в одной из своих книг изложил все неправильно.
36
Если вы знаете, с какого участка начать, достаточно привести список только мостов в том порядке, в каком они используются. Последовательные мосты определяют общий участок суши, с которым оба соединены.
37
Это довольно легко доказать, пользуясь эйлеровой характеристикой разомкнутых маршрутов. Основная идея состоит в том, чтобы разбить гипотетический замкнутый маршрут, удалив один мост. Теперь у вас имеется разомкнутый маршрут, а удаленный мост соединял прежде его концы.
38
Оставшаяся часть этой главы основана на статье: D. Manlove. «Algorithms for kidney donation», London Mathematical Society Newsletter 475 (March 2018) 19–24.
39
Точная дата, когда Ферма сформулировал свою Великую теорему, наверняка неизвестна, но обычно считают, что это произошло в 1637 году.
40
То же можно сказать и о значительной части прикладной математики. Однако здесь есть разница: отношение самого математика. В чистой математике движущей силой является внутренняя логика предмета: не просто обезьянье любопытство, а поиск структуры и чувство того, где в наших представлениях имеются серьезные пробелы. В прикладной математике движущей силой служат в основном задачи, возникающие в «реальном мире», но сама она лучше переносит необоснованные сокращения и аппроксимации при поиске ответа, а ответ может иметь или не иметь практических следствий. Однако, как показывает эта глава, тема, которая в какой-то момент кажется совершенно бесполезной, может внезапно обрести громадное значение в практических вопросах в ходе серьезных изменений в культуре или технике. Более того, математика представляет собой внутренне взаимосвязанное целое, даже деление на чистую и прикладную искусственно. Теорема, которая кажется бесполезной сама по себе, может вдохновить или повлечь за собой результаты огромной практической важности.
41
Ответ:
p = 12277 385900 723407 383112 254544 721901 362713 421995 519,
q = 97117 113276 287886 345399 101127 363740 261423 928273 451.
Я нашел эти два простых числа методом проб и ошибок и перемножил их на компьютере, воспользовавшись символьной алгеброй. Это заняло несколько минут, причем время в основном тратилось на ручную замену случайных цифр, пока я не наткнулся-таки
