Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс
В большинстве исследований утверждается, что письменная культура также представляет собой неотъемлемый компонент цивилизации. Однако мы знаем, что в империи инков – несомненно, одной из величайших цивилизаций – письменности не было. И все же у инков было кое-что такое, что почти никогда не попадает в список цивилизационных характеристик. А вообще-то этот элемент должен быть первым – может, даже единственным – критерием цивилизации. Разумеется, это математика.
Инки записывали официальные данные, торговые сделки, бухгалтерские счета и многие другие наборы чисел с помощью узелкового письма, называемого кипу. В каждом городе был “хранитель узелков”, который назначался королем и выступал в качестве государственного статистика – почти как самурай в Японии. Мы видели, как математика работала в шумерских царствах 5 тысяч лет назад и как ее задействовали при строительстве африканских цивилизаций в Северной и Черной Африке. В начале XIV века Манса Муса, который прослыл богатейшим человеком всех времен, основал в Тимбукту огромный университет, где наравне с астрономией и правом преподавали математику. Подвластная Мусе Империя Мали, источник большей части золота, находившегося в обращении в средневековом мире, была основана на торговле и налогообложении, а своим процветанием обязана искусству работы с числами.
Прошло семьсот лет, но мы и сегодня остаемся у него в долгу. Вот краткий список прекрасных вещей, которые нам подарила математика: международные путешествия, полные полки супермаркетов, холодильники, мобильные телефоны, сложные и красивые городские среды, индустрия развлечений, доступ к финансам, приведший к беспрецедентно высокому благосостоянию, феноменальные произведения искусства, многие дополнительные десятилетия здоровой жизни, глубокое знание космоса и его истории, великолепный информационный ресурс, которым стал интернет, – и это лишь первое, что пришло мне в голову. Теперь остается только спросить: как вышло, что ключевая роль математики так долго оставалась непризнанной?
Я виню в этом Платона. В IV веке до нашей эры этот древнегреческий философ провозгласил, что наш мир есть не что иное, как тень совершенной реальности, составленной из математических идеалов. Он разделял мысль, что Вселенная построена на фундаменте из нескольких выпуклых геометрических фигур. Главной из них был 12-сторонний додекаэдр, который, как выразился Платон, “Бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца”[246].
Около 300 года до нашей эры Евклид использовал принципы Платона при создании “Начал”, его обзорного труда по математике. “Начала” называют самым авторитетным учебником, который когда-либо был написан, но в них не содержалось ни указаний авторства, ни ссылок на источники идей, ни истории их появления. Складывалось впечатление, что математику нам передали на каменных скрижалях. В результате математику век за веком преподавали почти как богословие. Чтобы убедиться в этом, достаточно узнать, какой переполох вызывало “золотое сечение”.
Отрезок, разделенный по принципу золотого сечения
Описать золотое сечение довольно просто: поделите отрезок на две части так, чтобы отношение длины всего отрезка к большей части оказалось таким же, как отношение большей части к меньшей. Отношение равняется (1 + 5)/2, примерно 1,618. Этому числу приписывалась такая мистическая сила, что когда в 1509 году Лука Пачоли написал о нем книгу, он назвал ее “Божественная пропорция”. Уже по оглавлению понятно, в каком восхищении пребывал Пачоли: пятая глава, например, называется “О подходящем названии для настоящего трактата или обзора”. В ней объясняется, почему пропорция, о которой идет речь, божественна. В главах 12–14 описываются свойства пропорции, которые Пачоли (по порядку) называет “существенным”, “особым” и “поразительным”. Свойство из пятнадцатой главы “невероятно”, а затем идут “невообразимое”, “наивысшее”, “великолепное” и “трудновообразимое” свойства. Пожалуй, никогда еще автор не восторгался своим предметом столь явно.
Так и повелось. Золотым сечением его стали называть лишь в XIX веке, но, поскольку друг (и ученик) Пачоли Леонардо да Винчи проиллюстрировал его книгу, исследователи проецировали его на многие работы да Винчи, включая “Мону Лизу” и “Витрувианского человека”. Кое-кто, например, утверждает, что пропорции лица Моны Лизы соответствуют золотому сечению. Ни одно из подобных заявлений не проходит проверку – все зависит от того, как осуществляются измерения[247].
Попытки обнаружить золотое сечение в архитектуре не менее сомнительны. Порой утверждается, что по принципу золотого сечения спроектированы египетские пирамиды, многочисленные соборы и римский Пантеон, но большинство ученых не скрывает своего скепсиса. Тем не менее его мифическая сила одолевала архитекторов современности, например Ле Корбюзье, который считал, что золотое сечение и последовательность Фибоначчи имеют первородный характер и потому могут считаться “очевидными глазу ритмами”. По его словам, они лежат в основе деятельности человека: “Они находят в человеке отклик своей органической неизбежностью, той самой неизбежностью, которая заставляет детей и стариков, дикарей и мудрецов воспроизводить золотое сечение”[248].
В помпезных заявлениях Ле Корбюзье мало правды. Золотое сечение действительно присутствует в природе: оно определяет свойства огромного количества природных явлений, от расположения листьев на стебле растения до пропорций спиральной морской раковины и термодинамических свойств черных дыр. Но в этом нет никакой мистики: в природных явлениях снова и снова встречаются и многие другие числа.
Невозможно, однако, отрицать, что золотое сечение явило себя на картине Сальвадора Дали “Тайная вечеря”. Она вписана в прямоугольник, длины сторон которого выбраны так, чтобы их отношение давало золотую пропорцию. Позади Христа и его апостолов находится гигантский додекаэдр – геометрическая фигура, в свойствах которой также проявляется это соотношение. Это, впрочем, сделано совершенно намеренно. Выбор Дали продиктован не эстетикой, а символизмом: он опускается на колени перед Платоном. Такое низкопоклонство и подталкивало других приписывать псевдомистические свойства различным математическим явлениям. Я уже упоминал, что не вижу ни в числе π, ни в числе e, ни в квадратном корне из двух ничего особенно вдохновляющего. Не вдохновляют меня и простые числа.
Позвольте, я поясню свою мысль. Как мы увидели, люди изобрели целые числа, чтобы описывать предметы, которые находили в окружающей среде (или выдумывали), и оперировать ими. Мы также изобрели деление, чтобы их распределять. Разумеется, вскоре мы обнаружили, что одни целые числа можно поделить на другие целые числа так, чтобы у нас получились меньшие целые числа. Вместе с тем
