Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
Исследователи из Бостонского университета Слава Исполатов и Павел Крапивский[42] усложнили модель пропорционального обмена так, чтобы обмен происходил с учетом благосостояния не только тратящего, но и получающего. Миллионер редко покупает что-то у зеленщика, и зеленщик нечасто имеет большой доход; с другой стороны, производитель автомобилей экстра-класса будет взаимодействовать лишь с богатыми клиентами, но и сам не останется внакладе. Алгоритм такого обмена остается достаточно простым.
Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m, alpha — доля капитала, которая тратится при обмене, beta — доля капитала, приобретаемого при обмене.
Повторять
· · · · i <- случайное целое от 0 до n
если xs[i] > 0
· · · · · · · · dx <- floor(xs[i]*alpha)
xs[i] <- xs[i] — dx
· · · · повторять, пока dx > 0
· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n
d = min(dx, floor(xs[j]*beta))
· · · · · · · · xs[j] <- xs[j] + d
dx <- dx — d
И вот в моделях, в которых богатые начинают платить преимущественно богатым, а бедные — бедным, общество «разваливается» окончательно. Если денежные потоки оказываются зависимы от капитала, система теряет устойчивость и приводит к постоянному обнищанию группы и все большему нарастанию классового неравенства. В ней существует только одно стационарное состояние: когда все игроки не имеют (и, следовательно, не получают) ровным счетом ничего, а все богатство достается кому-нибудь одному. Коэффициент Джини в таком состоянии практически равен единице, и оно очень далеко от нормального равновесного — его энтропия почти равна нулю. Спасти положение можно различными способами. Например, ввести ограничение снизу, запрещающее игрокам терять абсолютно все сбережения, и в этом случае равновесное распределение становится снова экспоненциальным либо гамма-распределением. Или организовать подобие налогообложения, обеспечивающее стабильный поток средств от богатых ко всем, в том числе бедным. Модель «дикого рынка» вполне применима к рынку ценных бумаг без каких-либо ограничений, но на реальных биржах с этим борются, вводя ограничения на объем сделок, совершаемых за день, и на максимальные уровни роста или падения цены на тот или иной актив.
* * *Все эти печальные выводы говорят не в пользу свободного рынка. То ли дело модель, предложенная Шариковым! А какова же энтропия у вырожденного распределения? Согласно стандартной формуле, она в точности равна нулю. Это самое неравновесное, самое маловероятное распределение, и в любой модели обмена оно нестационарно, так что получить подобное общество можно только искусственно. Дикий рынок, конечно, не подарок: он неустойчив и тяготеет к вопиющему неравенству. Требуется множество взаимосогласованных ограничений и тонко настроенных связей для построения устойчивого рынка и более или менее справедливого общества. Человечество исследует этот вопрос еще не очень долго и в основном на ощупь, методом проб и ошибок, но одно ясно: несправедливость в экономическом пространстве — не следствие поганой человеческой натуры, а объективное свойство системы, в которую входим все мы. Более того, попытки создать абсолютную справедливость по-шариковски всегда проходили с боем и кровью, а результаты, в силу ее неравновесности, существовали недолго.
Вряд ли молекулы и атомы рассуждают о несправедливости своего мира, да и физики с инженерами за двести лет смирились с тем, что, какую бы идеальную тепловую машину они ни построили, хаос не позволит полностью преобразовать тепло в механическую работу. Когда понятно, то не так обидно. Надеюсь, эта глава поможет читателю понять и принять свойства нашего сложного и несправедливого мира. Принять не смирившись, а оттолкнувшись от них как от условия задачи, и постараться найти такие решения, которые помогли бы уменьшить эту несправедливость. На то нам и дан разум!
Заключение
У читателя, который только знакомится с математикой, может возникнуть странное ощущение, что наша книжка ни о чем. В школе задачи имеют ответ. И он один, даже если состоит из системы решений, как, например, для квадратного уравнения. Причем этот ответ можно сравнить с правильным вариантом, который приведен в конце задачника или учебника.
Разбираясь с законами подлости, мы рассматривали разные задачи, но ни одна из них не получила ответа такого рода. И это не связано ни со случайностью как основным предметом нашего разговора, ни с тем, что мы плохо старались. Мы увидели, что о случайных величинах и функциях вполне можно рассуждать так, чтобы получать точное знание. Дело в том, что математика чаще всего интересует не решение задачи, а свойства этого решения. Ему мало отыскать корень уравнения. Надо понять, единственное ли это решение, а если нет, то какую систему образует их множество и при каких условиях. Так из решения алгебраических уравнений — с некоторыми из них мы знакомились еще в школе — родилась теория Галуа, которая расширила взгляд не только на сами уравнения, но и практически на все области математического знания! Именно поэтому мы не ограничивались результатами имитационного моделирования, хотя они давали вариант решения. Но настоящее решение — нечто иное. Настоящий математический анализ модели заменяет бесконечное число экспериментов, очерчивает границы ее применимости и подсказывает направление для ее расширения.
А главное, в работе математика или физика не будет ответа в конце задачника. Сам-то ответ есть, природе он известен, но он редко имеет бинарный характер вроде «ложно / истинно» или «да/нет». Скорее вы обнаружите какие-то отношения, функциональные зависимости, сеть связей между категориями, в которых формулируется задача. И эта «подкладка» ценнее любого частного ответа, пусть и имеющего большое практическое значение. Если начинающий свой путь ученый это почувствует, ему проще будет понять, как совместить практическую пользу математики с искусством, абстрактные построения с «производственной необходимостью», математический стиль мышления — с решением повседневных вопросов и проблем.
Не ждите даже от «царицы наук» волшебного ответа на все вопросы. Но не упускайте случая лишний раз услышать ее мнение и насладиться ее красотой!
Рекомендуемая литература
Арнольд В. И. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2012.
