Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
Каждому распределению случайной величины — неважно, задаваемому аналитически или полученному экспериментально в виде гистограммы — можно поставить в соответствие положительное число — его энтропию. Это, в свою очередь, задает метрику на пространстве распределений, давая нам возможность сравнивать их между собой, определяя более или менее равновесные и вероятные распределения для заданных условий. Более того, для некоторого класса распределений можно выделить одно с максимальной энтропией — и только одно. Классы определяются ограничениями, или мерой нашего знания о статистических свойствах системы. Приведем самые важные примеры распределений, имеющих наибольшую энтропию.
Знакомые всё лица! Это очень часто используемые распределения, которые статистики применяют к широчайшему классу задач. Их универсальность обусловлена именно тем, что они, имея максимальную энтропию, наиболее вероятны и наблюдаются чаще других. К ним, как к равновесным, стремятся многие распределения реальных случайных величин.
Наиболее свободно от ограничений нормальное распределение: оно требует минимума информации о случайной величине. Меньше уже не получится: если мы укажем лишь среднее значение, то при попытках увеличить энтропию распределение «размажется» по всей числовой оси. Зато если мы знаем лишь среднее, но при этом ограничим случайную величину положительными значениями, то равновесное распределение будет однозначным — экспоненциальным. Именно этот случай мы и наблюдали в нашем эксперименте с рынком. Нам заранее было известно лишь то, сколько денег мы выдали каждому игроку, и то, что их количество в системе неизменно. Эта информация фиксирует среднее значение. А поскольку количество денег у нас — величина положительная, то, вероятнее всего, в равновесии мы получим именно экспоненциальное распределение.
В численном эксперименте можно вычислять энтропию нашей системы по мере приближения модели рынка к равновесию. Пример такого графика приведен на рис. 9.7. Обратите внимание на то, что ось X логарифмическая. Благодаря этому мы сможем одинаково внятно увидеть как начальные этапы развития модели, так и ее поведение для очень большого числа обменов, и в то же время логарифмическая шкала позволяет четко выделить отдельные этапы эволюции модельной системы. Буквы здесь соответствуют распределениям, показанным на рис. 9.5.
Рис. 9.7. Рост энтропии, наблюдающийся по мере приближения рынка к равновесному состоянию. Горизонтальной линией на графике показано теоретическое значение энтропии для экспоненциального распределения
Начальное состояние (вырожденное, при котором все участники группы располагают равными суммами) имеет нулевую энтропию; о том, что это значит, мы скажем чуть позже. Первые десятки обменов до состояния (a) лишь немного ее увеличивают, распределение все равно остается близким к вырожденному. Но далее оно становится очень похожим на нормальное, начинается диффузионный процесс, сопровождающийся линейным ростом энтропии на нашем графике. Если вы заглянете в таблицу выше, то увидите, что энтропия нормального распределения пропорциональна логарифму от стандартного отклонения. Именно эту пропорциональность и показывает нам график энтропии в выбранном нами логарифмическом масштабе. Теперь мы можем интерпретировать появление здесь нормального распределения как наиболее вероятного для случайной величины, о которой мы знаем лишь ее среднее (оно остается неизменным) и дисперсию (она растет, как в процессе случайного блуждания). Наконец, в состоянии (c) система начинает «чувствовать» дно и симметричность распределения нарушается, после чего оно постепенно достигает равновесного.
Не знаю, как читателю, а мне показалось обидным, что изначально справедливое распределение после серии абсолютно симметричных и беспристрастных обменов само по себе приходит к несправедливости. Мы уже говорили, что коэффициент Джини для экспоненциального распределения в точности равен 1/2 и при таком распределении половина всех денег принадлежит богатейшим 20 % группы. С другой стороны, может порадовать то обстоятельство, что эта несправедливость возникает не вследствие греховной человеческой натуры, а из-за натуры больших ансамблей взаимодействующих частиц.
Наша модель предельно проста. Существует множество ее модификаций: передаваемая сумма Δm может быть не фиксированной, а случайной величиной, ограниченной состоянием участника; при этом можно не давать деньги какому-то одному игроку, а распределять случайным образом. Пока мы не вводим новых параметров, все эти модификации не меняют форму равновесного распределения богатства — оно остается экспоненциальным. Многие исследователи отмечали эту особенность моделей рынка. В устойчивости решения можно убедиться с помощью имитационного моделирования, но приводить картинки для различных способов обмена неинтересно — все они будут одинаковыми. Любопытна модель, построенная Адрианом Драгулеску и Виктором Яковенко из Мэрилендского университета[41]. В ней игроков объединяют в некие «компании», а далее имитируется взаимодействие компаний с игроками-работниками и игроками-покупателями. Но и в этом, уже достаточно сложном случае равновесным оказывается экспоненциальное распределение, безразличное к выбираемым параметрам модели.
Загадочная и могущественная энтропия — это, конечно, солидно и, возможно, даже убедительно. Но почему же при симметричном обмене бедных становится больше, чем богатых? Почему мода равновесного распределения равна нулю? Надо, как говорят физики, разобраться в кинетике процесса, в судьбе отдельных частиц.
Мы не ошиблись, предположив, что модель случайного блуждания описывает изменение состояния отдельного участника торгов: он с равной вероятностью совершает шаги как вверх, так и вниз. Мы уже говорили о том, что случайно блуждающая частица обязательно окажется в любом наперед указанном месте. При этом ожидаемое расстояние, на которое частица удалится от какой-либо начальной точки, оказывается пропорционально квадратному корню от числа шагов. Все это приводит к тому, что если частица начинает свой путь вблизи нуля, то она с высокой вероятностью его достигнет, а поскольку ноль в нашей задаче — непроницаемая граница, она будет вынуждена вновь и вновь начинать свой путь около нулевой точки, с большой вероятностью быстро к ней возвращаясь. По мере удаления частицы от нуля вероятность к нему вернуться уменьшается и у богатых становится больше шансов сберечь свое состояние.
Но тогда что же мешает частице удалиться сколь угодно далеко, а конкретному игроку стать сколь угодно богатым? Вообще-то ничего, кроме конечности денег в системе: экспоненциальное распределение отлично от нуля на всей положительной полуоси. Но чтобы достичь невероятного богатства по правилам нашей игры, нужно, чтобы какой-то ее участник случайно получил систематическое преимущество перед остальными. Выбор, кому отдать деньги в нашей модели, падает на всех одинаково, а это значит, что доставаться они будут не только богатым, но и бедным. Есть в этом мире справедливость, хоть и торжествующая совсем недолго, для того, кто растерял
