Искусство большего. Как математика создала цивилизацию - Майкл Брукс
Его самое известное сочинение родилось в 1864 году и поначалу было довольно скучной рукописью под названием “Приключения Алисы под землей”. В нем не было и намека на чаепитие. Но в ходе работы над ним Доджсон все сильнее разочаровывался в том, как развивается его любимый предмет. Евклидова алгебра устаревала, ее сменяла абстрактная – в частности, комплексные числа и кватернионы. Доджсон писал о своих опасениях сестре, обсуждал их с коллегами и транслировал их в статьях для математических журналов, но казалось, что никто его не слушает. И тогда он применил один из любимых риторических приемов Евклида: доведение до абсурда.
“Алиса в Стране чудес” полна насмешек Доджсона над математическими тенденциями, которые нравились ему меньше всего[160]. Там есть выпады в сторону отрицательных чисел, символической алгебры и области, называемой проективной геометрией, и ее “принципа непрерывности” (чтобы высмеять ее идеи, Доджсон превратил младенца в свинью). Специалист по английской литературе Мелани Бэйли, собравшая из отдельных кусочков мозаики общую картину, полагает, что Доджсону наверняка доставляло особенное удовольствие проносить такие отсылки в дом Генри Лидделла, декана колледжа Крайст-Черч[161]. Лидделл был отцом Алисы – той самой девочки, которая стала героиней первой истории Доджсона. Бэйли обнаружила документы, подтверждающие, что Доджсона сердило включение символической математики в оксфордскую учебную программу и что он лично повздорил об этом с деканом Лидделлом как раз в то время, когда писал “Алису”. Бэйли представляет, как Доджсон включил свои аргументы в отредактированную версию книги, которую он передал семейству Лидделл, чтобы его возражения оказались на столе в гостиной декана как тайная шутка – или шутка, понятная лишь сторонникам Доджсона.
Несмотря на нелюбовь Доджсона к символической алгебре, именно кватернионы Гамильтона вдохновили его на самую яростную атаку. На чаепитии у Шляпника Алиса встречает трех странных персонажей: самого Шляпника, Мартовского Зайца и Соню. Алиса замечает, что герои постоянно пересаживаются. Похоже, это отсылка к одной из величайших инноваций Гамильтона – его способу умножать и делить кватернионы. Он схематично изображен на рисунке.
Цикл умножения кватернионов Уильяма Гамильтона
Дело в том, что в случае с кватернионами имеет значение порядок умножения. Мы говорим, что 2 × 3 равняется 3 × 2. Но i × j (или k) не равняется j × i (или – k). Важно, как именно вы двигаетесь по кругу. Разговор Алисы с Мартовским Зайцем – следствие недоверия Доджсона к новой математике: как отмечает Безумный Шляпник, “говорить то, что думаешь”, – вовсе не то же самое, что “думать то, что говоришь”.
Тем временем четвертого героя – Времени – на чаепитии нет. Из-за его отсутствия возникает проблема: на часах всегда шесть – и всегда пора пить чай. Здесь Доджсон, похоже, отвечает на громкое заявление Гамильтона, что кватернионы тесно связаны с проблемой представления времени, существующей в физике. В 1835 году Гамильтон написал книгу “Алгебра как наука чистого времени”. Изобретение кватернионов дало ему основание предположить, что одно из четырех чисел – время. В одном из своих (вполне берущих за душу) стихов Гамильтон отметил: “Один от Времени, три от Пространства – цепь символов должна закольцеваться”. Он представлял время четвертым измерением, но время не идущее, а существующее, статичное и абсолютное, или, по его словам: “До и после; прошедшее, последующее и одновременное; непрерывное бесконечное течение из прошлого через настоящее к будущему”. Оказывается, Гамильтон был склонен к философствованиям. “Есть нечто таинственное и запредельное в понятии Времени, – писал он, – но есть в нем также и нечто определенное и ясное, и если метафизики размышляют об одном, то математики строят свои рассуждения, отталкиваясь от другого”. Это несколько многословнее некоторых цитат о времени другого его великого толкователя – Альберта Эйнштейна. Сразу вспоминается, как Эйнштейн сказал: “Единственная причина для существования времени – чтобы все не случилось одновременно”. Но это, по сути, все та же мысль: время в голове – лишь иллюзия. И сцена из книги Доджсона показывает, что он этого не признавал: без Времени нет прогресса.
Своей теорией относительности это доказал Эйнштейн, а не Гамильтон. И для разработки специальной и общей теорий относительности, которые описывают свойства пространства и времени и поведение объектов при движении по ним, ему даже не понадобились четырехмерные кватернионы Гамильтона. В математике шла война, напоминающая войну видеоформатов Betamax и VHS. В конце концов кватернионы уступили инновационным векторам, которые определяют числа, указывая направление и расстояние на числовом эквиваленте навигационной карты. С тех пор кватернионы считаются жалким подобием векторов. Однако, хотя Эйнштейн и использовал четырехмерные векторы, мы по-прежнему можем смело благодарить Гамильтона за то, что он поместил идею о четвертом измерении в сердца и головы всех тех, кто хотел открыть доступ к космосу пифагорейцев. И хотя кватернионы очень мало используются в реальном мире, родственные им октонионы вполне могут стать ключом к финальной теории физики.
Восьмеричный путь
Даже Уильям Роуэн Гамильтон, неустанный поборник своих кватернионов, не стал продвигать октонионы. Четырехмерная алгебра позволяла учитывать время. Но какая польза от восьмимерной алгебры? Что делать с этим дополнительным пространством? Особенно коль скоро его математические законы столь запутанны.
Кватернионы состоят в довольно простой математической связи. Но когда Грейвз понял, что арифметические операции можно также производить в восьми измерениях, ему пришлось прокладывать новые – и, казалось бы, несуразные – пути. Например, положение скобок в выражении никогда прежде не имело значения. Но с октонионами 3 × (4 × 5) не было равно (3 × 4) × 5.
При работе с обычными числами математики начинают вычисления со скобок. Так, вычисляя произведение 3 × (4 × 5), они получили бы 3 × 20, или 60. Но если бы скобки переместились в другое место, ничего бы не изменилось. Вычисляя произведение (3 × 4) × 5, они получили бы 12 × 5, то есть тоже 60.
Но к октонионам обычные правила неприменимы. Если в кватернионах используются три числа i, j и k, то в октонионах их семь: e1, e2, e3, e4, e5, e6 и e7. Если хотите знать, e
