Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

В этой главе мы разбирались с не самыми приятными сторонами нашей жизни — очередями и бюрократией. И хотя они часто вызывают у нас раздражение, всё же эти явления призваны помогать в организации по-настоящему сложных процессов, они поддаются исчислению и избавляют нас от гораздо более неприятного и даже опасного неуправляемого хаоса.

Глава 8. Проклятие режиссера и проклятые принтеры

Настоящее — самое подходящее время что-то отложить.

Любое стоящее дело стоило сделать вчера.

Наше время принято считать нелегким, чересчур суетливым и полным стрессов. Так все и заявляют: «В наше нелегкое время…». Уверен, что так говорили, говорят и будут говорить всегда. И основной претензией к любому времени постоянно будет то, что его катастрофически не хватает! Мчатся поезда и самолеты, компьютеры подыскивают и доставляют нам прямо в постель мегабайты информации, всё, что нам нужно, — от светских новостей до рабочих сводок. Поисковые системы мгновенно отвечают как на самые глубокие, так и на самые дурацкие вопросы, и нам все еще не хватает времени. В основном на себя: на прогулку ради прогулки, на то, чтобы послушать музыку — не на бегу в наушниках, не в машине, а дома в кресле с единственной целью: послушать музыку! Некогда! Но уверен я также и в том, что это вовсе не болезнь века, в отличие, например, от гиподинамии, которая, несмотря на суетливость, беготню и стресс, преследует современного человека. Эта наша спешка и связанная с ней нервотрепка математически обусловлены и потому вечны, как ворчание стариков на «нынешнее бестолковое поколение».

В этой главе мы поговорим о том, почему нам не хватает времени на задуманное. Почему жизнь так коротка. Почему даже у добросовестного студента к концу учебного года остается лишь одна ночь на выполнение доброй половины всех заданий и почему, в конце концов, именно в эту ночь сломается принтер или его девушка задумает выяснить отношения.

Стратегия балбеса

Для анализа суеты нам опять потребуются случайные процессы. Один из самых простых из них, требующих минимума дополнительных предположений, — пуассоновский поток. Напомню, что его можно реализовать, случайно распределяя известное количество независимых событий по ограниченному временному интервалу. Хорошими примерами могут быть удары капель дождя по крыше, поток частных автомобилей на дороге, сильные землетрясения и т. п.

Но что мы получим, если события перестанут быть независимыми и начнут образовывать упорядоченную цепочку? Скажем, пусть в цепочке событий {A,B,C} B может случиться только после A, но перед C. При этом моменты, в которые эти события произойдут, останутся случайными. Посмотрим, как смогут разместиться такие упорядоченные цепочки на ограниченном временном интервале.

Первое событие мы расположим в произвольной точке, второе — тоже случайно, но обязательно после первого, третье — после второго и т. д. Для каждого следующего этапа будет оставаться все меньше времени, так что к правой части интервала (перед дедлайном) должно наблюдаться заметное увеличение интенсивности процесса. Рано или поздно время для выполнения задач закончится, и цепочка завершится. Назовем построенный нами процесс стохастической цепочкой с дедлайном, а выбранную безалаберную стратегию выполнения работы — стратегией балбеса. На рисунке 8.1 показан пример построенной таким образом цепочки из пяти этапов работы, на которую было отпущено 20 дней.

Рис. 8.1. Пример стохастической цепочки с дедлайном. В данном случае пять дел выполнить удалось, можно успеть шестое, а на семь времени уже не хватит

Понятно, что, выполняя задачи в соответствии с мерфологической аксиомой Дехэя: «Простую работу можно отложить, потому что всегда будет время ее сделать потом», — непросто уложиться в сроки. Но можно ли как-то проанализировать это явление? Сформулируем задачу, взяв в качестве испытуемого, скажем, театрального режиссера. Пусть в распоряжении режиссера и его труппы имеется n дней для постановки некоего действа. Подготовка разбивается на k последовательных репетиционных этапов, каждый из которых требует день на выполнение. Какова вероятность не уложиться в срок, если действовать согласно описанному нами процессу выполнения работ? Подготовка мероприятия требует вовлечения разных людей и различных производственных процессов, возможны накладки, болезни или попросту хандра — все предпосылки к реализации нашей стохастической цепочки с дедлайном.

Для начала я обратился к имитационному моделированию, чтобы выяснить, как распределяется длина цепочек, которые удается выполнить в ограниченный промежуток времени заданной длины, пользуясь стратегией балбеса.

Вычисления состояли в генерации стохастических цепочек и подсчете их длин для различных ограничений по времени по следующему алгоритму.

Вход: число дней n

Повторять, пока не набрано нужное число цепочек

· · · · x:= n

· · · · k:= 0

· · · · Повторять, пока x>0

· · · · · · · · выбрать случайное целое число x ~ Uniform([0,x])

· · · · · · · · увеличить счетчик k

· · · · конец

· · · · добавить k в гистограмму

конец

Вот какая гистограмма получается, например, для n = 10 (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Гистограмма функции вероятности для длины цепочек, которые удается выполнить в отведенный срок. Синей линией показано распределение Пуассона с интенсивностью, соответствующей наблюдаемой средней длине цепочек

Подсчитывая события в настоящем пуассоновском потоке с интенсивностью λ, мы придем к упоминавшемуся уже распределению Пуассона:

которое, напомню, описывает вероятность получить ровно k событий в единичном интервале времени. Распределение внешне похоже на пуассоновское, но оказалось, что это все же не оно. Разберемся, откуда взялись именно такие доли.

Отвлечемся от дел и сроков