Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
Рис. 7.11. Динамика FILO-очереди или стопки документов, которые при поступлении кладутся наверх и обрабатываются начиная сверху. Как и прежде, темные точки соответствуют каждому седьмому клиенту
Глядя на динамику FILO-очереди, легко понять, что время ожидания клиента должно быть близким к времени занятости оператора. Действительно, время занятости определяется как период от момента прихода первого клиента до момента выхода последнего, но в стеке первый клиент и оказывается последним. Нужно еще учесть, что очередной клиент не прерывает оператора, поэтому ко времени его ожидания добавится время обслуживания клиента, с которым уже работает сотрудник. Если оно распределено экспоненциально, то, как уже обсуждалось в связи со временем ожидания автобуса, добавочное время будет распределено точно так же. В итоге время ожидания окажется распределено как сумма времени занятости оператора и периода работы с одним клиентом. На рисунке 7.12 показаны распределения времени ожидания для M/M/1-очередей: обыкновенной, с политикой FIFO, придерживающейся правила FILO. В обоих случаях λ = 30 и μ = 34 человека в час.
Рис. 7.12. Распределения времени ожидания для M/M/1-очередей с различной политикой
Распределения сильно различаются, но средние значения у них практически одинаковые. Хотя распределение времени ожидания для FILO-очереди кажется сконцентрированным около моды (близкой к 1/μ, времени работы с одним клиентом), у него длинный тяжелый хвост, который сильно увеличивает дисперсию и повышает среднее значение. Медиана этого распределения равна 3 минутам. Это значит, что в половине случаев клиент будет ждать немного, но если уж застрянет, так застрянет: 5 % клиентов потратят больше часа, а самые невезучие 2 % вместо 2 минут вынуждены будут ждать своей очереди больше 2 часов! Для FIFO-очереди с такими же параметрами вероятность застрять на 2 часа составляет не более 0,04 %.
При этом оператор, то есть бюрократ, обрабатывающий бумаги, не заметит разницы между очередью и стеком: распределение его времени занятости не изменится. Руководитель бюрократа тоже увидит, что из кабинета подчиненного бумаги выходят с нормальной интенсивностью в силу устойчивости очереди. И большинство документов даже окажутся обработаны очень оперативно. Но то и дело какая-то их часть внезапно «проваливается» на дно стопки и задерживается там очень надолго. Такие дела приходится «двигать вручную» тем, кто в них заинтересован.
Подобная картина наблюдается и в шкафу, куда мы складываем вещи с мыслью разобрать потом. Но мы задвигаем то, что уже лежит там, поглубже и добавляем новые вещи. Так что даже если мы и станем их постепенно разбирать, до «ископаемых» у самой стенки руки дойдут очень и очень нескоро.
Для демонстрации несправедливости распределения времени между различными делами в ведомстве бюрократа (или вещами в шкафу) изобразим кривые Лоренца для FIFO- и FILO-очередей, описываемых формулой M/M/1. Если для всех FIFO-очередей кривая Лоренца одинакова, несправедливость FILO-очередей зависит от соотношения λ и μ. Чем ближе их отношение к единице, тем ближе к ней и индекс Джини. На рисунке 7.13 показаны кривые Лоренца для этих двух типов очередей с теми же параметрами, что и для предыдущего рисунка.
Рис. 7.13. Кривые Лоренца для времени ожидания в двух типах очередей. Коэффициент Джини для FIFO-очереди равен 0,5, а для FILO-очереди — 0,78
Закон сохранения клиентов, или равенство входного и выходного потоков, может сыграть еще одну злую шутку. Представьте себе контору, через которую проходит за рабочий день, скажем, 15 человек; при этом на каждого клиента в среднем уходит полчаса. В конторе два клерка, один трудится с интенсивностью 16 человек в день, а второй — 14. Вместе они могли бы обслужить человек тридцать, но, кажется, столько и не нужно. Люди в такой конторе почти не ждут своей очереди, среднее время ожидания составляет 18 минут, средняя длина очереди всего 1,2 человека[30]. Очень часто бывает так, что, пока с клиентом работает кто-то из клерков, второй в это время отдыхает. На рисунке 7.14 показан пример динамики очереди в конторе. При этом надо иметь в виду, что этот незначительный поток распределен между двумя операторами: каждый из них наблюдает поток, еще в два раза менее интенсивный. Про такую работу говорят: «не бей лежачего».
Рис. 7.14. Две недели в конторе с двумя клерками
Руководство, проведя все эти замеры и наблюдения, решает, что клерки живут уж больно вольготно, трудясь только половину рабочего времени, и в стремлении оптимизировать работу учреждения увольняет нерасторопного клерка. И вот все стало совсем иначе! Система приблизилась к опасному состоянию, когда μ≈λ. При таких условиях очередь становится метастабильной: она может какое-то время вести себя «хорошо», а потом внезапно наступит коллапс (рис. 7.15).
Рис. 7.15. В течение недели один клерк вполне справлялся с объемом работ, но потом все превратилось в кошмар
При λ = 15 и μ = 16 средняя длина очереди будет как раз равна 15 клиентам, а среднее время занятости оператора составит 1 день. Руководство может быть довольно своей оптимизацией. Но мы-то знаем, что средние показатели не показывают толком почти ничего. Посмотрите, с какой вероятностью время занятости клерка превысит указанное количество дней (рис. 7.16).
Рис. 7.16. Вероятность для одного клерка не уложиться с текущими делами в указанный период времени
Что еще хуже, среднее время ожидания одного клиента
