Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2008 №7 - Журнал «Домашняя лаборатория»
Ну, скажем, мы учили программистов. Но ведь программист должен сочинять программу, а не работать по ней. И должен оценивать куда и к чему приведут разные вариации в программе.
Иллюзии и самоудовлетворение
Преподаватель того времени чувствовал себя неуютно. Поэтому ему (если его психика была нормальной) очень хотелось бы кого-нибудь и чему-нибудь научить.
Успешная сдача студентами типовых задач создавала у преподавателей ощущение не зря потраченных времени и сил.
Мне иногда выдавались случаи выяснить у студентов ("прикладных математиков") 3–5 курса, что у них осталось от обучения алгебре и анализу на первых двух курсах. Когда я доводил статистику до сведения коллег, то они это воспринимали как оскорбление (естественно, с моей стороны). Они так успешно, добросовестно и замечательно учили, например, линейной алгебре. Студенты успешно сдавали всю отчетность. А к началу третьего курса не более 1/20 студентов помнит, что такое собственный вектор матрицы. При виде же матрицы третьекурсники начинали ее приводить к треугольному виду.
Я: "Зачем?".
Они: "А что с ней еще делать?".
Или (благополучный 1984 год), отличник/ца тарабанит на экзамене, как считать экстремум функции двух переменных. Если так, то сяк, если сяк, то так. Я его/ее прошу найти экстремум f(х, у) = хn2 + уn4. Имитация хромого компьютера мне бойко выдает: "Нужно дополнительное исследование". "Ну, давайте, исследуйте". Ну и крепкий оказался орешек! Студенту не под силу.
Думаю, что до обучения "матанализу", он на этот вопрос бы ответил.
Мне идея нравится, дальше спрашиваю это у всех. И результат повторяется с вероятностью единица! Один, правда, ответил. Я на радостях спросил про хn2 + уn3. Увы…
Но зато "типовые задачи" про этот самый максимум решались бойко. Задачи, которые надо было специально и с большим трудом придумывать, так, чтобы они "решались" (приравнивая частные производные к нулю, мы получаем нелинейную систему уравнений; и чего с ней делать?).
Конечно, в обстановке раскручивавшегося кризиса плачевность итогов вызывалась разными факторами. Но одним из них (находившимся, однако, в зоне возможностей человеческого контроля!) была общая потеря разумности в архитектуре программ и стиля их преподнесения.
Баллада о философском камне
Пусть функция f(х) определена в окрестности точки а.
Число Ь называется пределом функции f(х) в точке а, если для любого epsilon > 0 существует число delta > 0, такое, что для любого х, удовлетворяющего неравенству 0 < |х — а| < epsilon, выполнено f(х) — b < delta.
Обучение людей — дело довольно тонкое. Здесь очень многое основано на непрямых и запаздывающих эффектах, просто так взять и просчитать их бывает трудно или невозможно. По этой причине отлаженные и экспериментально проверенные методики заслуживают уважения и осторожности при попытке их деформировать. Однако бывает и не так. Я сам много лет кряду был очевидцем одного коллективного умопомешательства. Мне кажется, что тот случай был достаточно важен, и он заслуживает подробного обсуждения.
Каждый год в сентябре-месяце десятки доцентов, ассистентов и старших преподавателей, взяв в руки по эпсилону выводили своих студентов-технарей на поиски дельты. Но — о чудо! — каждый раз оказывалась эта дельта неуловимой.
Я и сам однажды, будучи молодым преподавателем, вооружившись любовно составленной методической разработкой, принял участие в той эпической страде. И лишь завершив к январю свой подвиг, задумался над происходившим.
Постановка задачи
Математические курсы, рассчитанные на математиков-профессионалов, начинаются с довольно обширного схоластического введения. Я использую слово "схоластика" не в качестве ругательства, а в качестве термина для определенного типа точного мышления. Для понимания математики достаточно высокого уровня, изощренная точность мышления нужна (просто иначе автоматически будешь делать ошибки). При чтении просто курса анализа даже приличного для ВУЗов уровня, схоластика полезна на некоторых участках курса, но не является необходимой.
Человек, просто хорошо знавший школьную программу за 10 классов, к восприятию этой схоластики готов не был. Тем более не был готов к этому реальный студент-технарь 80-ых годов с фактическим уровнем образования в 8 классов, о чем я писал выше. Добавлю также, что обучение подобным сюжетам в стиле "не хочешь — заставим" едва ли возможно; нужно, чтобы человек воспринимал красоту обсуждаемого, или, чтобы он был внутренне уверен в важности предмета.
Если честно, то никакой гамлетовской проблемы "быть-или-не-быть" в этом не видно. Надо было продумать, как читать курс математики для инженеров, а не страдать от того, что они "не могут понять того, что даже нам кажется понятным". Но только "математики", за очень редким исключением, не хотели себя этим утруждать. То, что я описываю ниже, было лишь малой деталью этого непонимания. Но деталью распространенной и в чем-то символической.
Классический подход к решению
Первой трудностью было не лишенное замысловатости определение предела с epslon и delta. Кто-то когда-то придумал, что можно внедрить это понятие в сознание недостаточно умственно развитых студентов, если заняться поисками дельты по эпсилону.
Основной пример — найти дельта по эпсилону для функций типа у = х, у = хn2, y = sqrt х, у = хn3. Очевидно, что это какая-то замечательная методическая находка, потому что просто так ни один человек в здравом уме, увидев эти функции, искать дельту не бросится.
Априорные доводы "против"
1. Определения предела эти задачи не проясняют. Например, непонятно, зачем нужна столь замысловатая определяющая фраза.
2. В определении предела говорится, что delta "существует", тем самым почти подчеркивается, что она никому не интересна. Так зачем ее искать, если ясно, что она есть? и особенно, когда совсем ясно, что она есть: надо лишь ткнуть в картинку.
3. То есть, вместо попытки объяснить определение предела, вводится новая сущность — искусство поиска никому не нужной дельты. Далее начинается обучение (иногда успешное) этому важному искусству.
4. Доказывать непрерывность функции у = хn2 "по определению" разумно, если человек воспринимает доказательство как самостоятельную ценность и готов поиграть в доказательство ради самой игры. Как будто, обсуждаемая методика рассчитана на иного человека. У преподавателя, желающего продемонстрировать студенту логическую красоту математики и показать эффективность доказательства как средства, предостаточно возможностей: и формула Тейлора, и множители Лагранжа, и формула Грина… Вот тут есть, где развернуться! А изображая теорему из непрерывности хn2, ты (с точки зрения разумного студента-нематематика) делаешь черт-знает-что-черт-знает-зачем (даже
