Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №1 - Цыбанова
Первый вариант соответствует началу процесса, второй — его завершению. Поскольку arctg (1/√x) — бесконечно малая величина при x —> оо, то последнее условие переходит в (4), так что решение с этого места не меняется.
Попробуем разобраться в вопросе о происхождении приливных сил на Земле. Рассмотрим систему двух тел: Земля — Луна (Рис. 1).
Рис. 1
Обычно говорят, что приливные силы на Земле возникают в точках А и В и обусловлены неоднородностью гравитационного поля Луны на расстояниях порядка земного диаметра (примерно 12 000 км), и это верно. В самом деле, гравитационное ускорение, испытываемое единичной массой воды в точке А из-за силы притяжения Луны составляет fA = Gm/(r + R)2, где G — гравитационная постоянная, m — масса Луны, r — расстояние между центрами Земли и Луны, R — радиус Земли. Аналогичное ускорение, испытываемое водой в точке В, составит fB = Gm/(r — R)2’ а ускорение самой Земли (которую мы полагаем твердым телом) будет между этими значениями: Gm/r2. Таким образом, разность гравитационных сил притяжения Луны, действующих на воду в точках А и В, как бы растягивает водную массу (как, впрочем, пытается растянуть и Землю) в стороны и отодрать ее от Земли, причем эта разность составляет
Сила же, отрывающая единичную массу воды в точках А и В от поверхности Земли, одинакова и по абсолютной величине составляет |fA — fB| = 2GRm/r3’
Однако наряду с гравитационным эффектом есть еще и центробежный. Именно, известно, что система Земля — Луна в соответствии с законами Кеплера вращается вокруг центра масс (обозначенного нами точкой С), расположенного на расстоянии рE от центра Земли и рM — от центра Луны, причем рE = (m/(m + M))∙r, рM = (M/(m + M))∙r, а M/m = 81. При этом единичные массы воды, расположенные в точках А и В, имеют центростремительные ускорения аA = w2(pE + R), аB = w2(pE — R), в то время как Земля имеет среднее ускорение аO = w2pE. Значит, в неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на эти массы воды будут действовать центробежные силы, также стремящиеся отодрать воду от Земли, растянуть всю систему, и их разность составит ΔаAB = 2w2R. Остается найти w2 и сравнить эффекты.
Т.к. тело массы M вращается по круговой орбите радиуса рE вокруг точки С под действием силы гравитационного притяжения GMm/r2, то
откуда
Таким образом получается, что
Т.е.
Мы видим таким образом, что если все вышеизложенное верно, то центробежный эффект не только присутствует, но и вносит основной вклад в поднятие воды при приливах, поскольку на порядок (вроде, в 40 раз!) сильнее.
В то же время представляется, что оба эффекта независимы, и обсуждать их надо по отдельности, поскольку порождены они различными физическими явлениями. Обосновывается данная мысль тем, что мы можем в принципе выделить эффекты по отдельности и рассматривать их изолированно один от другого. Для иллюстрации сказанного представим себе две группы ситуаций, в которых каждый раз действует лишь один эффект:
1. Никакого вращения нет, сила притяжения между Землей и Луной действует как обычно, но сами эти небесные тела прибиты к своим неподвижным местам гвоздями. Тогда, разумеется, никакой центробежной силы нет, ΔаAB = 0, а неоднородность гравитационного поля Луны сохраняется, и потому приливы все-таки есть, но они чисто гравитационные. Т. е. воду от поверхности Земли отрывает лишь гравитация. Правда, поскольку вращение системы Земля-Луна вокруг их общего центра масс мы здесь выключили, то не только ΔаAB = 0, но и вообще центробежной силы нет, сила притяжения воды Луной ничем не компенсируется, и потому вода (в той или иной степени) соберется в точке В и будет свисать там каплей. Таким образом, в данной ситуации в точке В будет наблюдаться мега-прилив, а в точке А — мега-отлив.
1’. То же, что и в пункте 1, но Земля не прибита гвоздями к своему месту, а поступательно падает на Луну под влиянием закона Всемирного Тяготения. Опять ΔаAB = 0 (поскольку никакого вращения нет и в помине).
В неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, сила притяжения Луны компенсируется силой инерции, но происходит это лишь в центре Земли, а в точках А и В компенсация неполная, так что мега-приливов не будет, а будут симметричные приливы (гравитационные) в точках А и В. В инерциальной системе отсчета, связанной с системой отсчета центра масс системы Земля-Луна ситуация выглядит так: Земля падает на Луну с ускорением, равным местному ускорению свободного падения Луны в точке О, а массы воды в точках А и В падают со своими ускорениями, отличающимися от ускорения Земли — за счет этого происходит растяжение системы Земля-вода. Чисто гравитационное растяжение…
2. Никакой Луны нет, а мы просто берем Землю и вращаем ее на веревке с угловой скоростью си вокруг точки С. Тогда нет никакой неоднородности гравитационного поля Луны (за отсутствием самой Луны), ΔаAB = 0, зато есть центробежные силы, и притом ровно такие, как вычислено. Опять наблюдаются мега-прилив и мега-отлив, но теперь они меняются местами: мега-прилив — в точке А, мега-отлив — в точке В. Ясно, что данные явления чисто центробежные, и из наших рассмотрений явствует, что по величине, они больше, чем чисто гравитационные в случае 1.
2’. Для получения чисто центробежного прилива, и притом не мега-прилива, а обычного (в частности — симметричного) представим себе систему, состоящую из обычной Земли и Луны, каковая представляет собой бесконечную гравитирующую плоскость, не проходящую через центр Земли. Известно, что гравитационное поле такой плоскости однородно, и потребуем, чтобы напряженность его была равна реальной напряженности гравитационного поля реальной Луны в точке О. Ясно, что данная модель является предельным случаем большой по размеру Луны — много большей Земли. Пусть, кроме того, вся эта система вращается вокруг общего центра масс с угловой скоростью w. Тогда опять, ΔаAB = 0 — потому что гравитационное поле Луны однородно, но центробежная сила сохраняется и дается тем же выражением, что и раньше, что вызывает центробежные приливы, и притом симметричные, поскольку здесь в точке О опять происходит компенсация силы притяжения Луны силой инерции,
