Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Доказательство: Посмотрим, что будет происходить с последовательностью для ex при x = iθ:

Обратите внимание на поведение i при возведении его в последовательные степени: i0 = 1, i1 = i, i2 = –1, i3 = –i (последнее потому, что i3 = i2i = –i). Затем закономерность повторяется: i4 = 1, i5 = i, i6 = –1, i7 = –i, i8 = 1 и т. д. Еще более пристальное внимание следует обратить на то, что среди полученных результатов последовательно чередуются действительные и мнимые величины, что дает нам возможность выносить число i за скобки при каждом втором шаге:

Это приводит нас к доказательству «уравнения Бога», с которого мы начинали эту главу. Приняв θ = π рад (или 180°), мы получим

Но это далеко не все, о чем говорит нам теорема Эйлера. Мы уже встречались с cos θ + i sin θ – это есть точка на единичной окружности, лежащей на комплексной плоскости. Вместе с «положительной» половиной оси x она образует угол θ. Так вот, с помощью теоремы Эйлера эту точку можно представить очень простым способом – таким, какой показан на графике

Но и это еще не все! Любая точка комплексной плоскости имеет на окружности свое соответствие. А именно комплексная величина z с модулем R и углом θ представляет собой некую в R раз увеличенную точку, лежащую на окружности. Другими словами,

Следовательно, если у нас на комплексной плоскости есть две точки z1 = R1eiθ1 и z2 = R2eiθ2, то, согласно правилам действий со степенями (в версии, касающейся комплексных величин)

что является комплексным числом с модулем R1R2 и углом θ1 + θ2. И снова мы приходим к выводу, что произведение комплексных величин – это, по сути, произведение их модулей и сумма их углов. Только согласитесь: теорема Эйлера и число e приводят нас к этому умозаключению куда безболезненнее и быстрее, чем наше предыдущее – длиной в целую страницу – алгебраическо-тригонометрическое доказательство.

Давайте же восславим число e уже ставшим привычным для нас способом (и да простит нас Джойс Килмер[35]):

Не сыщешь веку вопрекиЧисла чудеснее, чем e.Ты не забудешь никогдаДва-семь-один и восемь-два…Его чудесный строгий видВ сердцах у нас всегда горит.Оно задачи облегчитИ интегралы разрешит.Докажет ерунду любой,Но только Эйлер – наш герой.

Глава номер одиннадцать

Магия исчисления

Касательно касательных

Математика – это язык, на котором говорит наука. Стоит ли удивляться, что большинство законов природы описываются с помощью математического алфавита? Исчисление – один из способов познать суть вещей, то, как они изменяются, развиваются, движутся. Эту главу мы посвятим измерению скорости, с которой изменяются функции, и изучению теории приближений – примерной оценки (аппроксимации) сложных и простых полиномиальных функций (многочленов). А еще исчисление – мощное средство оптимизации. Это наиболее эффективный способ подобрать такие величины и порядок работы с ними, которые дадут оптимальный результат. (Например, если мы планируем доходы или надеемся выжать максимум при минимуме затраченных усилий, результат должен быть наибольшим, а если хотим сэкономить или ищем кратчайший путь из точки А в точку Б, – наименьшим.)

Предположим, что у вас есть лист картона размером 12 на 12 см (см. рисунок). Наша задача – сделать из него лоток, для чего нам нужно от каждого из четырех углов отрезать по квадратику размером x на x сантиметров. Чему должен быть равен x, чтобы у нас получился максимально вместительный лоток?

Представим объем как функцию x. Площадь основания лотка равна (12 – 2x)(12 – 2x), а высота его стенок – x. Значит, объем можно посчитать как

кубических сантиметров. Значение x должно быть таким, чтобы значение V было максимальным. Однако в крайности впадать не следует: при x = 0 или x = 6 объем лотка будет нулевым. Значит, оптимальный результат лежит где-то между этими двумя значениями.

Попробуем графический подход – визуализируем функцию y = (12 – 2x)²x для значений x в диапазоне от 1 до 6. При x = 1 объем составит y = 100; при x = 2 – y = 128; при x = 3 – y = 108. Значение x = 2 выглядит многообещающе, но что, если в диапазоне от 1 до 3 есть другая действительная величина, которая подойдет нам еще лучше?

Влево от максимума функция растет, вправо – уменьшается. Слева значение ее наклона положительное, справа – отрицательное. В самой верхней точке не происходит ничего – функция в ней словно застыла в нерешительности, выбирая, куда направиться: вверх или все-таки вниз. Поэтому через нее можно смело провести горизонтальную (то есть с нулевым наклоном) касательную. Именно ее – такую оптимальную точку – мы и будем искать в этой главе.

А заодно мы коснемся касательных, и для этого нам придется среза́ть углы, причем не только в переносном, но и вполне себе прямом (как мы это делали только что в задачке про лоток) смысле.

Исчисление – штука непростая и громоздкая: у вас вряд ли получится найти по ней учебник меньше, чем на тысячу страниц. В нашем же распоряжении их едва ли больше 20, поэтому единственное, что мы успеем – так это чуть-чуть посветить спичкой в темной комнате. Все, что нам предстоит увидеть, – дифференциальный аспект исчисления, касающийся функций; интегральную же сторону, необходимую для того, чтобы подсчитывать площади и объемы сложных объектов, придется оставить пылиться в углу.

Начнем с самого простого – функций, представленных прямыми. В главе 2 мы уже говорили о том, что наклон графика линейной функции y = mx + b равен m. Следовательно, при росте значения x на единицу y будет увеличиваться на m. Допустим, наклон y = 2x + 3 равен 2. Увеличив x на 1 (скажем, с x = 10 до x = 11), мы тем самым увеличим y на 2 (то есть с 23 до 25).

На графике ниже проведено несколько разных линий. Диагональная функция y = –x имеет наклон –1, а горизонтальная y = 5 – наклон 0.

Задав две точки, мы можем провести через них прямую. Ее наклон можно определить, не прибегая к формуле самой прямой, – достаточно взять координаты точек (x1, y1) и (x2, y2) и вставить их в уравнение

позволяющее узнать отношение приращения функции к приращению аргумента.

Для примера возьмем линию y = 2x + 3 и две ее точки с координатами (0, 3) и (4, 11). Ее наклон составит = (11 – 3)/(4 – 0) = 8/4 = 2 – тот же ответ, к которому мы можем прийти с помощью уравнения прямой.

Теперь рассмотрим функцию y = x² + 1, изображенную на графике внизу. Это не прямая: мы можем проследить, как постоянно меняется ее наклон. А вот касательная, проходящая через точку (1, 2) – прямая. Попробуем определить ее наклон.

Для этого нам нужны хотя бы две точки. Что же делать? Придется взять еще одну линию – такую, которая пересекает кривую функции как минимум дважды (так называемую секущую). Приняв x = 1,5, мы получаем y = (1,5)² + 1 = 3,25. Согласно уже рассмотренной нами формуле, наклон секущей составляет