Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Чтобы отследить общую закономерность, заменим ставку 0,06 ставкой r, а начальную сумму $10 000 суммой $P. Тогда через t лет вы смогли бы получить

Теперь предположим, что проценты начисляются дважды в год: по 3 % каждые 6 месяцев. Через год на вашем счете будет лежать $10 000(1,03)² = $10 609 – немного больше, чем в прошлом случае.

С ежеквартальными (раз в три месяца) начислениями вы заработаете 4 раза по 1,5 %, то есть $10 000(1,015)4 = $10 613,63.

Давайте обобщим и это: при начислении процента n раз в год через 365 дней сумма ваших накоплений составит

При очень больших значениях n мы будем иметь дело с непрерывными начислениями процента. Согласно второму замечательному пределу, за год получится

Сведем все это в таблицу:

Иными словами, начав с $P, с непрерывными начислениями по ставке r через t лет вы получите $A. Все это выражается очень симпатичной во всех отношениях формулой

Как хорошо видно на графике, функция y = ex растет очень быстро. По соседству с ней мы изобразим графики e2x и e0,06x. Правда, похожи? Подобный рост называется ростом по экспоненте. Если же взять график y = e–x, то он очень быстро приближается к 0, то есть демонстрирует спад по экспоненте.

А что насчет графика 5x? Так как e < 5 < e², он должен лежать между ex и e2x. Если точнее, то e1,609… = 5, следовательно, 5x ≈ e1,609x. В целом же любую функцию ax можно представить в виде ekx, где k есть экспонента, соответствующая a = ek. А для того, чтобы найти k, нам понадобятся логарифмы.

Точно так же, как квадратный корень является обратным представлением квадратичной функции (то есть находится с ней во «взаимоотменяющих» отношениях), логарифм является обратным представлением показательной (экспоненциальной) функции. Наиболее часто используемый логарифм – десятичный (то есть по основанию 10), обозначаемый как lg x. Считается, что

из чего следует

Например, так как 10² = 100, lg 100 будет равен 2. Вот очень полезная таблица логарифмов:

Одной из причин популярности логарифмов является их уникальная способность преобразовывать огромные значения в малые, куда более удобоваримые для человеческого ума. Логарифмы, в частности, используются при измерении и подсчете магнитуды землетрясения по шкале от 1 до 10 (да-да, это я о знаменитой шкале Рихтера), громкости звука (в децибелах), кислотности химических растворов (pH) и даже рейтинга посещаемости интернет-страниц (в алгоритме PageRank, придуманном корпорацией Google).

Что собой представляет lg 512? Любой профессиональный калькулятор (равно как и большинство поисковых систем в Интернете) скажет вам, что log 512 = 2,709…. Вполне похоже на правду: 512 находится между 10² и 10³, а значит, его логарифм должен быть больше 2, но меньше 3.

Логарифмы были изобретены для того, чтобы преобразовывать умножение в более простое сложение. Основано это на одной любопытной теореме.

Теорема: Для любых положительных значений x и y

Другими словами, логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Доказательство: Согласно правилам действий со степенями,

Следовательно, возведение 10 в степень lg x + lg y дает xy, что и требовалось доказать.◻

Не менее полезно следующее правило.

Теорема: Для любого положительного значения x и любого целого значения n

Доказательство: Согласно правилам действий со степенями, abc = (ab)c. Следовательно,

то есть логарифм xn равен n lg x.◻

Десятичный логарифм – штука вполне себе обычная, насколько вообще обычным может быть нечто столь активно использующееся в таких важных областях науки, как химия, физика или геология (справедливости ради все же следует упомянуть, что в информатике и дискретной математике предпочтение отдается логарифму с основанием 2). В целом же для любого значения b > 0 логарифм по основанию b logb определяется согласно следующему правилу

Так, log2 32 = 5, потому что 25 = 32. А все уже рассмотренные нами свойства логарифмов соответствуют любому значению b. Так, например,

В большинстве разделов математики, физики и техники самым полезным считается логарифм по основанию b = e. Он называется натуральным и даже имеет свое специальное обозначение – ln x. То есть

Или же, для всех действительных значений x,

Ваш калькулятор, например, может за долю секунды подсчитать, что ln 5 = 1,609…, однако это нам уже хорошо известно по тому, что e1,609 ≈ 5. Подробнее же о функциях натурального логарифма мы поговорим в главе 11.

Большинство профессиональных калькуляторов способно считать как натуральные, так и десятичные логарифмы. И лишь очень немногие ориентированы на другие значения b. Впрочем, проблемы тут никакой нет: одно основание довольно легко преобразовать в другое. Да-да, один логарифм является ключом ко всем остальным! На этот счет даже есть своя теорема, благодаря которой мы можем, например, взять логарифм по основанию 10 и найти его аналог по основанию b.

Теорема: Для любых положительных значений b и x

Доказательство: Предположим, что y = logb x. Тогда by = x. Прологарифмируем обе части: log by = log x. Согласно второму замечательному пределу, y log b = log x. Следовательно, y = (log x)/(log b), что и требовалось доказать.◻

logb x = (log x) / (log 2) = (log x) / (0,301…) ≈ 3,32 log x

Другие лики е

Как и число π, число e широко используется в математике. И, как и π, оно встречается подчас там, где вы совершенно не ожидаете его увидеть. Например, колоколообразная кривая, которую мы уже упоминали в главе 8, имеет формулу