Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века
Кеплер рассматривает обобщение правильных многогранников, введя понятие конгруэнции и конгруэнтных фигур. Его определение этих понятий отличается от принятых теперь. Мы называем фигуры конгруэнтными, если сохраняется неизменным расстояние между двумя соответствующими точками фигур, а конгруэнцией, или конгруэнтным преобразованием,— такое, которое сохраняет это расстояние неизменным. Кеплер понимает под конгруэнцией вид соединения простых фигур (как плоских, так и пространственных) в более сложные, причем новую получающуюся фигуру он также называет конгруэнцией: «Конгруэнция различается в плоскости и в пространстве. На плоскости имеет место конгруэнция, когда отдельные углы нескольких фигур так примыкают друг к другу в точке, что между ними не остается никакого промежутка». Для пространственной конгруэнции дается аналогичное определение, только плоский угол заменяется пространственным {13, с. 64}.
Замечательно определение § XII книги II, которое связывает понятие конгруэнции как с фигурами на плоскости, так и с фигурами в пространстве: «Плоские фигуры являются конгруэнтными, когда они или замыкаются в пространственную фигуру, или же заполняют плоскость без промежутков, при этом фигуры должны быть правильными или полуправильными» {13, с. 66}.
Путь, по которому идет Кеплер, строя свои конгруэнции на плоскости и в пространстве, содержит в себе весьма простую идею. В распоряжении Кеплера имеется набор (правильных) многоугольников, выстроенный в порядке увеличения числа сторон. Затем он поочередно располагает эти многоугольники вокруг одной точки с тем, чтобы они образовывали на плоскости некоторую фигуру без зазоров и нахлестов. Вначале Кеплер рассматривает возможность построения такой фигуры из многоугольников одного вида (например, треугольников), а затем переходит к более сложным фигурам, составленным из многоугольников различного вида (например, треугольников и четырехугольников), постепенно все более усложняя фигуры и комбинации. Таким образом он перебирает все возможные случаи я приходит к выводу, что имеется лишь три типа регулярных паркетажей, которые могут быть продолжены на всю плоскость до бесконечности: шесть треугольников вокруг каждой вершины, четыре четырехугольника вокруг каждой вершины и три шестиугольника вокруг каждой вершины.
Итак, усложняя постепенно имеющиеся в его распоряжении элементы, Кеплер строит в плоскости сложную фигуру вокруг точки-вершины. Эту фигуру он и называет конгруэнцией. Аналогичным образом он строит и пространственные конгруэнции. При этом в основе его рассуждений лежит несколько весьма простых утверждений: «Для того чтобы в плоскости образовать конгруэнцию, каждый раз надо иметь по меньшей мере 3 плоских угла (предложение XIV). Для построения пространственного угла необходимо по меньшей мере три плоских угла (предложение XV). Сумма углов, которые в плоскости образуют конгруэнцию, всегда равна 4 прямым и никогда больше; в пространстве она меньше 4 прямых (предложение XVI). Пусть две поверхности не больше, чем третья. Тогда они не могут составить пространственный угол (аксиома XX)» {13, с. 66, 72}.
Вот почти все исходные положения Кеплера. Остается только удивляться, что, основываясь на столь простых предпосылках, он смог перечислить все пространственные конструкции (конгруэнции), аналогичные тринадцати архимедовым телам. Более того, он открыл, что существует два бесконечных семейства тел: призмы (с квадратами на боковой поверхности) и антипризмы (с равносторонними треугольниками на боковой поверхности). Наконец, в процессе исследования проблемы Кеплер пришел к выводу, что правильные многогранники могут быть составлены не только из правильных выпуклых многоугольников, но и из правильных звездчатых многоугольников: «Пятиугольные звезды замыкаются по всем сторонам в пространстве; получающиеся фигуры имеют при вершинах в одном случае 12 пятигранных углов, а в другом — 20 трехгранных. Первая звезда стоит на трех вершинах, вторая на пяти ...Хотя у них снаружи не видно правильных граней, тем не менее они представляют собой равнобедренные треугольники, построенные на стороне пятиугольника как на основании. В одной плоскости располагаются всегда пять таких треугольников; они группируются вокруг скрытого в пространстве пятиугольника, являющегося их сердцем, с которым они все вместе образуют пятиконечную звезду, которая по-немецки называется «ведьминой ногой», а для Теофраста Парацельса означала символ здоровья... Родство этих фигур — одной с додекаэдром, а другой с икосаэдром столь велико, что дает возможность рассматривать эти последние, особенно додекаэдр, как обрубок, или торс, по сравнению с соответствующим звездчатым телом» {13, с. 77}.
Таким образом, Кеплер отчетливо представлял себе конструкцию и свойства многогранников, которые сегодня называются малым и большим звездчатым додекаэдром. Исследование этих тел было продолжено лишь два столетия спустя выдающимся французским математиком Луи Пуансо, а полная теория звездчатых многогранников была построена еще позже в работах Коши, Бертрана и Кели.
В Книге III, посвященной музыке, и в Книге IV, посвященной астрологии, Кеплер пытается показать, что архетипические принципы Вселенной основаны в первую очередь на геометрии, а не на числе как таковом. Согласно его представлениям, например человеческие души тесно связаны с расположением звезд на небе, причем эта связь определяется величиной углов между созвездиями в момент рождения человека, а затем и в продолжение всей его жизни. С другой стороны, в музыке Кеплер пытается сопоставить натуральный лад совокупности правильных многогранников и их элементов. Более того, он был твердо уверен, что с помощью геометрии он разгадал принцип, управляющий гармонией сфер: согласно представлениям, берущим начало в античности, планеты при своем движении по орбите издают определенный музыкальный звук. Кеплер установил, что отношения скоростей планет в перигелии и афелии соответствуют созвучиям перехода в новую тональность. А поскольку одна планета не обязательно находится в перигелии, когда другая находится в афелии, гармонии сфер звучат лишь время от времени по мере того, как планеты движутся по орбитам. Ему казалось, что он открыл еще один из таинственных законов мироздания: «Теперь больше не должно казаться странным, почему человек, подобие своего Создателя, открыл в конце концов полифонию, искусство, неизвестное древним. С помощью этой симфонии звуков человек может играть всего лишь час среди бесконечного времени и тем не менее почувствовать, хотя и в малой степени, то наслаждение которое свойственно Богу, Величайшему художнику, и получать это сладчайшее удовольствие от музыки, которая подражает Богу» {7, VI, с. 328}.
Подобные высказывания могут вызвать у современного читателя снисходительную улыбку, но хочется подчеркнуть, что именно в процессе таких поисков, где мистика сплеталась со стремлением к рациональности, Кеплер приходит в главе V к фундаментальному соотношению, называемому сегодня третьим законом: отношение периодов обращений двух планет равно отношению их средних расстояний от Солнца в степени 3/2. Он не приводит вывода этого закона и не заботится показать, насколько этот закон является точным. Тем не менее он в восторге от найденного соотношения, потому что оно столь замечательно связывает расстояния планет от Солнца с их скоростью, создавая, таким образом, предпосылку и первопричину его ранних находок в «Космографической тайне» и теперешних утверждений в «Гармонии».
Подробное доказательство Кеплер дает в другой своей книге, которую он писал одновременно с «Гармонией». Она была опубликована в трех выпусках под названием «Краткий очерк коперниканской астрономии». Написанная в форме вопросов и ответов — стиле, характерном для учебников XVI в., она в самом деле представляла лучший учебник по теоретической астрономии для своего времени. Последний выпуск «Очерка» был напечатан осенью 1621 г., как раз тогда, когда процесс по обвинению матери Кеплера в колдовстве закончился ее оправданием — она выдержала испытание пыткой.
Вывод третьего закона, или закона гармонии, как называл его Кеплер, основывается на ряде соотношений и гипотез, которые Кеплер уже неоднократно использовал. Во-первых, рассматривается сила F, заставляющая планету двигаться по орбите: чем она больше, тем меньше период обращения Т (T ~ l/F). Эта сила, как мы помним, определяется потоком особых частиц, которые как бы толкают планету. Естественно предположить, что период будет прямо пропорционален массе планеты М, потому что скорость движения вследствие инерции будет уменьшаться с ростом массы при одном и том же потоке частиц (Т ~ М) С другой стороны, чем больше длина орбиты L, тем больше период, а чем больше объем планеты, тем больше движущих ей частиц будет с нею сталкиваться, следовательно, период оказывается прямо пропорциональным длине орбиты и обратно пропорциональным объему (T ~ L/V).
