Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор
Зададимся вопросом: что произойдёт, если, сохраняя массу, взять тело меньшего радиуса, и, соответственно, меньшего объёма? При несущественном сжатии ничего особенного не произойдёт, Внешнее искривлённое пространство–время будет представлено все тем же решением Шварцшильда. Если кто‑то очень сильный «уплотнит» Солнце, сожмёт его в несколько раз, сохраняя сферическую симметрию, то это никак не повлияет на движение планет — они будут двигаться по тем же орбитам. Обсуждая чёрные дыры Мичелла–Лапласа, мы отметили, что вторая космическая скорость тем больше, чем меньше радиус тела при той же массе. Поэтому, стремясь увеличить вторую космическую скорость, давайте, мысленно (пренебрегая реальными условиями состояния вещества) уменьшать радиус тела, сохраняя массу.
До каких пор интересно продолжать этот мысленный процесс? Как видно, при r = rg решение Шварцшильда перестаёт быть регулярным: коэффициент временной части обратится в нуль, а пространственной, наоборот, — в бесконечность! Может r = rg это как раз тот размер объекта, когда вторая космическая скорость равна скорости света? Поэтому, давайте, продолжим мысленное сжатие, пока все вещество не станет сосредоточено в сфере, меньшего радиуса, чем гравитационный rg.
Напомним, что гравитационный радиус пропорционален массе тела. Сжатая до гравитационного радиуса Земля была бы горошиной диаметром 1,6 см, а Солнце — шаром диаметром 6 км. После такого сжатия область в окрестности сферы радиуса rg и все остальное пространство станут вакуумными. Это даёт возможность без помех исследовать распространение сигналов вдали от объекта и вблизи rg, к чему мы и переходим.
Сначала разумно вернуться к «эйнштейновским» эффектам, которые мы уже обсудили в окрестности «обычных» небесных тел, таких как Солнце. Приближение к области в окрестности гравитационного радиуса делает их проявление чрезвычайно выраженным и даже парадоксальным.
Начнём с отклонения луча света. То, что с приближением к сфере радиуса rg угол отклонения луча будет увеличиваться — вполне ожидаемо. Но до какой степени возможно это отклонение? Оказывается, при достаточном приближении луч может обогнуть объект и уйти в обратном направлении. Далее, если он будет проходить на расстоянии полутора rg от центра, то угол отклонения станет полным оборотом. То есть в этом случае луч света
Рис. 8.1. Фотонные орбиты вокруг чёрной дыры
начнёт вращаться по круговой орбите! В отличие от орбит планет, эта орбита неустойчива — после любого незначительного возмущения луч либо покинет объект, либо «свалится» в него. Если продолжить процедуру и ещё приблизить луч к центру, то его траектория превратится в спираль, и он будет захвачен объектом.
На рис. 8.1 видно, что на расстояниях, близких к rg фотонные орбиты как бы перепутываются. Это приведёт к странным ощущениям наблюдателя, по мере его приближения к объекту. Издалека он будет воспринимать перед собой объект как чёрное пятно, вокруг пятна — обычные созвездия, которые и были бы без объекта. Позади себя он увидит небо с обычным рисунком созвездий. Чем ближе к объекту, тем больше чёрное пятно. А на расстояниях близких к круговой фотонной орбите картина фантастически изменится. Поскольку он будет встречать лучи, которые «развернулись», то вокруг чёрного пятна вместе с прежними звёздами он увидит и звезды, которые позади него. Внутри круговой фотонной орбиты позади себя он увидит кроме обычных звёзд также и звезды, которые реально перед ним. Действительно, в этой области лучи закручиваются, разворачиваются.
Какое выражение примет эффект смещения перигелиев вблизи rg? Изучение траекторий обычных тел с ненулевой массой покоя, пролетающих на расстояниях сравнимых с rg, даёт ответы, похожие на описание световых траекторий. Существуют некоторые предельные параметры (зависящие от скорости), дальнейшее изменение которых определяет неминуемый захват тела, который происходит в общем случае по спирали.
Следующие эффекты — это замедление времени и гравитационное красное смещение. Явная форма решения, которое представляет геометрию Шварцшильда, позволяет легко рассказать об этом. Во всем пространстве и на подступах к сфере радиуса rg распределим неподвижных наблюдателей. Они могут быть зафиксированы, например, с помощью ракетных двигателей, препятствующих падению к центру. У всех наблюдателей одинаковые часы, которые у каждого из них идут одинаково. Но каждая точка имеет собственное (истинное) течение времени, и в сравнении друг с другом это время течёт по–разному.
Истинное время наблюдателя на бесконечности (где, по сути, пространства–время плоское) совпадает с координатным временем t. Для геометрии Шварцшильда истинное время в каждой конкретной точке представляется выражением τ = t(g00)1/2 = t (1 — rg/r)1/2. Эта формула показывает, каким будет наблюдаться ход часов, помещённых в точке с радиальной координатой r удалённым наблюдателем (наблюдателем на бесконечности). То есть с его точки зрения часы, которые ближе к центру (с меньшими значениями r) идут медленнее тех, которые дальше от центра. Это, конечно, относится не только к часам, а ко всем наблюдаемым процессам. Если бы удалённый наблюдатель увидел часы в точке r = rg то он бы констатировал, что и часы стоят, и все остальные процессы застыли! Поскольку эффект гравитационного красного смещения прямо связан с эффектом замедления времени, то чем ближе к сфере радиуса тем эффект «покраснения» сильнее. Если бы удалённый наблюдатель попытался увидеть сигнал, испущенный из точки r = rg то он бы обнаружил, что его частота нулевая.
Горизонт событий и истинная сингулярность
Нулевая частота означает, что нет никакого сигнала вообще! Из‑под сферы радиуса rg световые сигналы не выходят, гравитационные силы не дают им вырваться во внешнюю окрестность. То есть, действительно, это сфера, где вторая космическая скорость становится равной скорости света. Поэтому из‑под сферы радиуса rg невозможно распространение наружу никакой формы материи. Таким образом, эта сфера оказывается барьером, за который внешний наблюдатель не в состоянии заглянуть. Именно поэтому она получила удачное название горизонта событии, а сам объект стали называть чёрной дырой.
Термин чёрная дыра подсказал известному американскому физику–теоретику Джону Уилеру (1911–2008) один из студентов на конференции в 1967 году. Но ещё ранее, в 1964 году, его использовала Анна Ивинг в докладе на собрании Американской ассоциации содействия науке.
До сих пор мы рассматривали фиксированные точки пространства и наблюдателей, связанных с ними Теперь давайте проследим за свободно падающим телом. Пусть падение начинается из состояния покоя из удалённой области, где почти нет искривления, откуда мы будем отслеживать его траекторию. В восприятии удалённого наблюдателя история падения будет следующей. Сначала движение не будет вызывать удивления, Скорость будет нарастать медленно, затем все быстрее и быстрее, вполне соответствуя закону всемирного тяготения. Затем, на расстояниях от центра, сравнимых с гравитационным радиусом, нарастание скорости падения станет катастрофическим. Здесь мы тоже не очень удивимся, мы объясним это тем, что из зоны соответствия с гравитацией Ньютона объект попал в зону сильных искривлений. А на расстояниях долей гравитационного радиуса от горизонта событий он, к нашему изумлению, начнёт резко тормозить и все медленней приближаться к горизонту событий, а в результате, никогда его не достигнет. Но здесь тоже нечего удивляться, недавно мы установили, что для удалённого наблюдателя все процессы при приближении к горизонту событий замирают, падение тела — не исключение.
Эффект того, что из‑под горизонта событий ничего не выходит наружу, мы объяснили наличием чрезвычайно сильного гравитационного воздействия. Этот ответ, конечно, правильный, поскольку ничего, кроме гравитации, не рассматривается. Однако он не конструктивный, так как не позволяет понять механизм тех явлений, о которых мы только что говорили. Нет никакого представления о том, что происходит под горизонтом, и происходит ли вообще что‑то. С другой стороны, мы договорились, что в эйнштейновской теории гравитационных сил, как таковых, нет вообще. Есть искривление пространства–времени. Поэтому, давайте, шаг за шагом перейдём к описанию в рамках геометрической теории.
