РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Теперь мы рассмотрим комбинированный счет в 100 единиц. Вместо того чтобы ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на комбинированном счете для каждой сис­темы, мы будем ставить 1 доллар на каждые 8 долларов комбинированного счета. Каждая сделка для любой системы затрагивает комбинированный счет, и именно комбинированный счет используется для определения размера ставки для после­дующей игры (Таблица II).

Отметьте, что в случае комбинированного счета и в случае отдельных счетов при­быль одна и та же: $42,38. Мы рассматривали положительную корреляцию между дву­мя системами. Теперь рассмотрим случай с отрицательной корреляцией между теми же системами, для двух отдельных денежных счетов (Таблица III):

Таблица II Система А Сделка P&L Система Б Сделка P&L Комбинированный счет 100,00 2 25,00 2 25,00 150,00 -1 -18,75 -1 -18,75 112,50 2 28,13 2 28,13 168,75 -1 -21,09 -1 -21,09 126,56 2 31,64 2 31,64 189,84 -1 -23,73 -1 -23,73 142,38 -100.00 Итоговая чистая прибыль по комбинированному счету= $42,38Таблица Ш Сделка Система А P&L Полный капитал Сделка Система Б P&L Полный капитал 50,00 50,00 2 25,00 75,00 -1 -12,50 37,50 -1 -18,75 56,25 2 18,75 56,25 2 28,13 84,38 -1 -14,06 42,19 -1 -21,09 63,28 2 21,09 63,28 2 31,64 94,92 -1 -15,82 47,46 -1 -23,73 71,19 2 23,73 71,19 -50.00 -50.00 Чистая прибыль 21,19140 21,19140 Итоговая чистая прибыль по двум счетам = $42,38

Как видите, при работе с отдельными денежными счетами обе системы выигры­вают ту же сумму независимо от корреляции. Однако при комбинированном счете:

Таблица IV Система А Сделка P&L Система Б Сделка P&L Комбинированный счет 100,00 2 25,00 -1 -12,50 112,50 -1 -14,06 2 28,12 126,56 2 31,64 -1 -15,82 142,38 -1 -17,80 2 35,59 160,18 2 40,05 -1 -20,02 180,20 -1 -22,53 2 45,00 202,73 -100.00 Итоговая чистая прибыль по комбинированному счету= $102,73

При использовании комбинированного счета результаты гораздо лучше. Та­ким образом, торговать фиксированной долей следует на основе одного комбиниро­ванного счета.

Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся

Следующая аксиома, касающаяся торговли фиксированной долей, относится к максимизации текущего события, как будто оно должно быть осуществлено бес­конечное количество раз в будущем. Мы определили, что для процесса независи­мых испытаний вы должны всегда использовать оптимальное и постоянное f, но при наличии зависимости оптимальное f уже не будет постоянной величиной.

Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для на­глядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55% шанс выигры­ша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45% шанс проиг­рыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли, уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют бернуллиево распределение), получим:

(1.10) f =((2+1)* 0,55-1)/2 =(3*0,55- 1)/2=0,65/2=0,325

После проигрышной игры наше оптимальное f равно:

f =((2+1)* 0,45-1)/2 =(3*0,45-1) /2 =0,35/2 =0,175

Разделив наибольший проигрыш системы (т.е. -1) на отрицательные оптималь­ные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выиг­рыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Та­ким образом мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оп­тимального f не существует, таким образом, вам не следует использовать эту игру:

(1.03) М0=(0,3*2)+(0,7*-1) =0,6-0,7 =-0,1

В этом случае следует использовать оптимальное количество только после выиг­рыша и не торговать после проигрыша. Если зависимость действительно суще­ствует, вы должны изолировать сделки рыночной системы, основанные на зави­симости, и обращаться с изолированными сделками как с отдельными рыноч­ными системами. Принцип, состоящий в том, что асимптотический рост максимизируется, когда каждая игра осуществляется бесконечное количество раз в будущем, также применим к нескольким одновременным играм (или торговле портфелем).

Рассмотрим две системы ставок, А и Б. Обе имеют отношение выигрыша к проигрышу 2:1, и обе выигрывают 50% времени. Допустим, что коэффициент корреляции между двумя системами равен 0. Оптимальные f для обеих систем (при раздельной, а не одновременной торговле) составляют 0,25 (т.е. одна ставка на каждые 4 единицы на балансе). Оптимальные f при одновременной торговле в обеих системах составляют 0,23 (т.е. 1 ставка на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета). В случае, когда система Б торгует только две трети времени, неко­торые трейдеры разорятся, если обе системы не будут торговать одновременно. Первая последовательность показана при начальном комбинированном счете в 1000 единиц, и для каждой системы оптимальное f соответствует 1 ставке на каж­дые 4,347826087 единицы:

А Б Комбинированный счет 1 000,00 -1 - 230,00 770,00 2 354,20 -1 -177,10 947,10 -1 -217,83 2 435,67 1 164,93 2 535,87 1 700,80 -1 -391,18 -1 -391,18 918,43 2 422,48 2 422,48 1 763,39

Рассмотрим теперь ситуацию, когда А торгует отдельно от Б. В этом случае мы де­лаем 1 ставку на каждые 4 единицы на комбинированном счете для системы А (так как это оптимальное f для одной игры). В игре с одновременными ставками мы все равно ставим 1 единицу на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета как для А, так и для Б. Отметьте, что независимо от того, отдельная это ставка или од­новременная ставка по А и Б, мы применяем то оптимальное f, которое увеличи­вает доход при бесконечном повторении ставок.

А Б Комбинированный счет 1 000,00 -1 - 250,00 750,00 2 345,20 -1 -172,50 922,50 -1 -212,17 2 424,35 1 134,67 2 567,34 1 702,01 -1 -391,46 -1 -391,46 919,09 2 422,78 2 422,78 1 764,65

Как видите, с помощью этого метода мы получаем небольшой выигрыш, и чем больше сделок проходит, тем больше этот выигрыш. Тот же принцип применяется к торговле портфелем, где не все компоненты портфеля находятся на рынке в определенный момент времени. Вам следует торговать на оптималь­ных уровнях для комбинации компонентов (или одного компонента), чтобы получить в итоге оптимальный рост, как будто этой комбинацией компонентов (или одним компонентом) придется торговать бесконечное количество раз в будущем.