Э Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная
3. Схема Калуцы не приводила ни к каким новым предсказаниям или интерпретациям фундаментальных фактов.
4. Физическое пространство в рамках этой теории имело довольно странный вид: три пространственных координаты имели огромную протяженность (~10**26 см - размеры Метагалактики), четвертая же координата имела циклический замкнутый характер с очень малыми размерами.
Все эти соображения привели к тому, что многомерными теориями занимались очень немногие физики.
Исключительно эффективная реставрация идеи многомерного физического пространства произошла через тридцать лет после описываемых событий, в середине 70-х годов. Можно назвать несколько важных причин этой реставрации.
Во-первых, значительные успехи в теории объединения взаимодействий. Правда, в основе этих успехов лежали идеи, существенно отличные от идей Калуцы - Эйнштейна. Объединение основывалось на квантовой теории поля.
Во-вторых, появилась теория, претендующая на объяснение сильного взаимодействия. Эта теория базировалась на идее существования кварков (квантовая хромодинамика; см. разд.6 гл.2).
В-третьих, в рамках теорий, объединяющих три или все четыре взаимодействия, появились очень малые масштабы. Первый масштаб (большое объединение трех взаимодействий) равен 10**-28 - 10**-29 см. Второй масштаб возник в рамках супергравитации (объединение всех четырех взаимодействий). Этот масштаб, так называемая планковская длина`,
HP G 1/2 -33 l| ~ ( ------ ) = 10 см . (54) p c**3
Эти расстояния - следствие огромных масштабов масс объединения (см. таблицу в разд.6).
-----------------------------------------------------------` Планковские величины были впервые предложены М.Планком в докладе на заседании немецкой Академии наук в 1899 г. Подробно история возникновения планковской системы единиц была изложена в ст.: Горелик Г.Е. Первые шаги квантовой гравитации и планковские величины // Эйнштейновский сборник, 1978-1979. М.: Наука, 1983, С.334. -----------------------------------------------------------
И наконец, последнее: появилось некоторое понимание природы размерности макроскопического пространства (N=3). Коротко (подробнее см. гл.3) можно сказать, что значение N=3 - результат некоторых случайных процессов, природа которых до конца не установлена. Однако можно допустит ь, что "истинная" размерность пространства в различных областях Вселенной не одинакова, поэтому "странная" геометрия Калуцы оказывается в определенном смысле естественной.
До сих пор мы почти одновременно говорили о совместной геометрической интерпретации электромагнитного и гравитационного взаимодействий и существовании других (слабого и сильного) взаимодействий, которые как будто не укладываются в схему Калуцы.
Ранее указывалось, что решение этой проблемы появилось в результате создания теории взаимодействия кварков (квантовая хромодинамика) и успехов в объединении электромагнитного и слабого взаимодействий (теория Глешоу Вайнберга - Салама). Наша формулировка неточна. На самом деле квантовая хромодинамика не вошла в арсенал достижений физики как теория, интерпретирующая взаимодействие кварков.
Оказалось, что уравнения Янга - миллса хорошо хорошо описывают взаимодействие кварков в определенных границах, которые по существу являются пределами применимости квантовой хромодинамики. Частица со свойствами, весьма близкими к частице Янга - Миллса, получила название глюона и оказалась переносчиком сильного взаимодействия между кварками (см. Дополнение).
В основе теории Янга - Миллса лежат калибровочные соотношения
i g T(x) 1 DL a PSIG' = PSIG e|||||||| , A' -> A + [aA] - --- ------ , (55)
g DL x
g=const , a=a(x) .
Соотношения (55) определяют уравнения Янга - Миллса и очень похожи на условия (48), (49) калибровочной инвариантности в электродинамике. Однако есть и два существенных отличия: 1) в уравнениях (55) T(x) не число, а квадратная матрица и 2) в условие преобразования вектор-потенциала A входит дополнительный член [a,A] (наличие такого члена приводит к тому, что вектор A не только инвариантен относительно смещения, но и относительно вращения в изотопическом пространстве). Эти две, казалось бы, несущественные особенности радикально отличают уравнения Янга - Миллса от уравнений электродинамики.
Отметим в них то, что нам потребуется в дальнейшем. Во-первых, свойства матриц T существенно отличаются от свойств алгебраических чисел ALPHA. Числа характеризуются свойствами коммутативности (ALPHA|ALPHA| - ALPHA|ALPHA| =
1 2 2 1 0). Матрицы этим свойством не обладают (вообще говоря, T|T| - T|T| /= 0). 1 2 2 1
Инвариантность (55) функции PSIG требует введения уже
1 не одномерного пространства S|, а многомерного. Например, если матрица T двумерна, то соответствующее ей пространства
3 - трехмерная сфера S| . Соотношение между размерностями матрицы (n) и соответствующего ей пространства (N) определяется квантовомеханическим условием унитарности: N=n**2-1 (n>=2).
Для понимания дальнейшего целесообразно вначале ограничиться геометрической интерпретацией электрослабого взаимодействия.
Известно, что слабое взаимодействие характеризуется
+- 0 тремя частицами-переносчиками - тяжелыми W||- и Z|-бозонами, образующими изотопический триплет. Изотопический триплет соответствует трем независимым направлениями вектора состояния в изотопическом пространстве. Поэтому для своего геометрического описания этот триплет требует трехмерную
3 сферу S| .
Электромагнитное взаимодействие (изотопический спин фотона
1 равен нулю) описывается сферой S| . Поэтому может показаться, что для совместного описания электрослабого
3 взаимодействия могут потребоваться и сфера S| и сфера
1 3 1 (окружность) S| (прямое произведение S| x S|). Однако ясно,
3 1 что сфера S| уже включает окружность S| - она состоит из бесконечной совокупности окружностей. Поэтому может опять возникнуть неверное впечатление, что для описания
3 электрослабого взаимодействия достаточно одной сферы S|, уже
1 включающей окружность S| . В действительности такая процедура слишком упрощена. Выше отмечалось, что окружность
1 (сфера S|) обладает среди сфер уникальной особенностью: лишь
1 в пределах сферы S| два последовательных вращения коммутативны, что отражается в разнице правил коммутации двух чисел и двух матриц. Суммарное вращение в пределах окружности не зависит от порядка, в котором вращается вектор состояния. Окончательный результат не зависит от того, в каком порядке пробегает вектор состояния два угла (ALPHA|,
1 ALPHA|) вдоль окружности. Суммарный угол в любом случае
2 равен ALPHA| + ALPHA| = ALPHA| + ALPHA| .
1 2 2 1
Совершенно иная ситуация возникает при вращении в
N сферах S| (N>=2) высших размерностей. В этом случае суммарное вращение зависит от порядка, что символически можно записать в форме ALPHA| + ALPHA| = ALPHA| + ALPHA| .
1 2 2 1 Подобное различие в свойствах коммутативности обуславливает кардинальную разницу между уравнениями электродинамики и
1 уравнениями Янга - Миллса. Поэтому включение окружности S| в
3 сферу S| неправомочно.
Однако вполне оправдана несколько иная операция:
1 выделения некоторой окружности S| и использования ее в
3 дальнейшем для построения сферы S| . Иначе говоря, разбиения
3 1 2 сферы S| на две: S| и S| . В стандартных обозначениях такое
3 1 2 разбиение имеет вид S| = S| + S| . Это произведение двух сфер и есть геометрическая интерпретация электрослабого взаимодействия. Наглядно ее можно попытаться представить как пространство Минковского (Римана), в каждой точке которого в определенном взаимоотношении "прикреплены" окружности и сферы одинакового радиуса.
По аналогии с геометрической интерпретацией электрослабого взаимодействия можно геометрически интерпретировать объединение сильного, слабого и электромагнитного взаимодействия (большое объединение).
Квантовая хромодинамика определяется группой SU(3), соответствующей 3-мерному комплексному пространству (матрица T 3-мерна). Учитывая квантовое условие унитарности (см. выше), размерность соответствующего пространства равна восьми. Эту размерность можно уменьшить до семи, используя свойства проективных пространств, когда одна из размерностей стягивается в точку. В проективной геометрии все точки, координаты которых пропорциональны (отличаются одним и тем же числовым множителем), принимаются за одну точку. Иначе говоря, все точки с координатами bx|, bx|, ..., bx| (b
1 2 N действительное число, принимающее различные значения) рассматриваются как одна. Это означает, что в рамках проективной геометрии прямая эквивалентна точке, что является отражением принципа двойственности. Поэтому проективное пространство с размерностью N в известном смысле эквивалентно обычному пространству с размерностью N+1, а
2 2 1 1 произведение пространств CP| x S| x S| (CP| - проективное двумерное комплексное пространство, эквивалентное 4-мерному действительному пространству) эквивалентно изотопическим пространствам, отражающим все три взаимодействия: сильное
