Брайан Кокс - Почему Е=mc²? И почему это должно нас волновать
Наконец-то нам удалось интерпретировать скорость c: это предельная скорость во Вселенной. Ничто не может двигаться быстрее, поскольку это могло бы использоваться для передачи информации, которая бы привела к нарушению принципа причинности. Обратите также внимание, что если все наблюдатели сойдутся во мнении о расстоянии в пространстве-времени между двумя событиями, то они должны сойтись и насчет предельной скорости c независимо от их движения в пространстве-времени. Таким образом, скорость c обладает дополнительным интересным свойством: независимо от того, как движутся два разных наблюдателя, при измерениях они всегда должны получать одно и то же значение c. Скорость c сильно начинает напоминать другую особую скорость, с которой мы уже сталкивались в этой книге, – скорость света, хотя мы еще не доказали, что это одно и то же.
Наша исходная гипотеза все еще жива. Нам удалось построить теорию пространства и времени, которая, как нам кажется, способна воспроизвести физику, с которой мы столкнулись в предыдущей главе. Безусловно, существование универсального ограничения скорости подает надежды, особенно если мы сможем интерпретировать это как скорость света. У нас также есть пространство-время, в котором и пространство, и время больше не являются абсолютными и принесены в жертву абсолютному пространству-времени. Чтобы убедиться, что мы построили возможное описание мира, давайте посмотрим, сможем ли мы получить замедление движущихся часов, с которым сталкивались в главе 3.
Представьте, что вы вернулись в пресловутый поезд, сидите в вагоне и смотрите на свои наручные часы. Вам удобно измерять расстояние относительно вашего собственного положения, а время – с помощью часов. Ваша поездка от станции до станции занимает два часа. Так как вы не покидаете своего места в вагоне, вы перемещаетесь на расстояние x = 0. Этот принцип мы установили еще в начале книги. Невозможно определить, кто именно движется, а кто находится в состоянии покоя, так что для вас, сидящего в вагоне, вполне приемлемо решение считать, что вы неподвижны. Следовательно, для вас изменяется только время. Поскольку путешествие длится два часа, в вашем восприятии вы перемещались лишь во времени. Таким образом, в пространстве-времени вы переместились на расстояние s, которое определяется как s = ct, где t = 2 часа (так как измеренное вами расстояние в пространстве x = 0). Пока все просто. Теперь рассмотрим вашу поездку с точки зрения вашего друга, находящегося не в поезде, а сидящего где-то на земле (где именно, не имеет значения, главное, что он пребывает в состоянии покоя относительно дороги, по которой со свистом несется ваш поезд). Ваш друг предпочитает измерять расстояние относительно своего положения, а время – по своим часам. Для простоты предположим, что ваш поезд едет по идеально прямой дороге. Если вы проехали два часа со скоростью v = 100 км/ч, то ваш друг отмечает, что к концу путешествия вы преодолели расстояние X = vT. Мы используем прописные буквы для расстояния и времени, измеренного вашим другом, чтобы отличать их от расстояния и времени, измеренного вами (то есть x = 0 и t = 2 часа). По словам вашего друга, вы преодолели в пространстве-времени расстояние s, определяемое по формуле s² = (cT)² − (vT)².
Далее следует очень важный момент: вы оба должны указать одно и то же расстояние для вашего путешествия в пространстве-времени. Согласно вашим измерениям, вы не двигались (x = 0), а ваше путешествие заняло два часа (t = 2 часа), в то время как ваш друг утверждает, что вы проехали расстояние vT (где v = 100 км/ч), а само путешествие заняло время T. Мы обязаны приравнять полученные расстояния в пространстве-времени и выводим уравнение (ct)² = (cT)² − (vT)². При преобразовании оно дает T = ct ÷ √(c² − v²). Таким образом, несмотря на то что, судя по вашим часам, путешествие длилось два часа, по часам вашего друга оно продолжалось несколько дольше, а именно – в с ÷ √(c² − v²) = 1 ÷ √(1 − v² ÷ c²) раз, что в точности совпадает с тем, что мы получили в предыдущей главе, если принять, что c – не что иное, как скорость света.
Вы начинаете чувствовать ионическое очарование? Мы вывели ту же формулу, которую получили путем рассуждений о световых часах и треугольниках в предыдущей главе. В тот момент мы говорили о световых часах потому, что выполненный Максвеллом блестящий синтез экспериментальных результатов Фарадея и других ученых привел к предположению, что скорость света должна быть одной и той же для всех наблюдателей. Этот вывод был подтвержден экспериментальными работами Майкельсона и Морли и принят в качестве постулата Эйнштейном. В этой главе мы пришли к аналогичному заключению, но без ссылок на историю или эксперимент. Нам даже не понадобилось придавать свету особую роль. Мы просто ввели пространство-время и в результате выявили, что должно существовать понятие инвариантного расстояния между событиями. Кроме того, мы потребовали неукоснительного соблюдения закона причины и следствия. После этого построили простейшую из возможных мер расстояния и получили тот же ответ, что и Эйнштейн. Это рассуждение, пожалуй, один из самых красивых примеров непостижимой эффективности математики в естественных науках. Однако истинная кульминация будет достигнута в следующей главе, а пока можем немного отдохнуть от математики и насладиться тем фактом, что мы успешно открыли новый способ размышлений о теории Эйнштейна. Пространство-время, похоже, в самом деле работает и имеет смысл, как сказал Минковский.
Как представить пространство-время? Реальное пространство-время четырехмерно, но четырехмерная природа – камень преткновения для нашего воображения: наш трехмерный мозг не в состоянии воспринимать объекты в более чем трех измерениях. Кроме того, тот факт, что одна из размерностей – время, выглядит полной бессмыслицей. Но вот картина, которая могла бы сделать все это менее загадочным. Представьте мотоцикл, едущий по холмистой местности. Вся равнина пересечена дорогами, позволяющими мотоциклу двигаться в любом направлении. Пространство-время похоже на такую холмистую равнину. Аналог движения мотоциклиста, едущего точно на север, – движение в пространстве-времени только во времени. Иными словами, такой объект неподвижен в пространстве. Конечно, утверждения наподобие «неподвижен в пространстве» субъективны, так что отождествление «направления строго на север» с «временным направлением» подразумевает определенную точку зрения, но это как раз хорошо. Нам просто следует помнить об этом. Далее, на все пересекающиеся дороги нашей равнины накладывается ограничение – они должны отклоняться от направления на север не более чем на 45 градусов. Дороги, ведущие точно на восток и запад, запрещены, так как, двигаясь по ним, нашему пространственно-временному мотоциклисту придется превысить космическое ограничение скорости в пространстве. Подумайте об этом: если бы мотоциклист мог двигаться строго на восток, он бы переместился в этом направлении на какое угодно расстояние, совершенно не затратив на это время, так как при этом абсолютно не сдвинулся бы в северном направлении. Это соответствовало бы бесконечной скорости в пространстве. Он мог бы попадать из пресловутого пункта А в пункт Б мгновенно. Поэтому дороги построены так, что мотоциклист просто не может двигаться слишком быстро в западном или восточном направлении.
Аналогии можно проводить еще дальше. Очень скоро мы покажем, что в пространстве-времени все движется с одинаковой скоростью. Это выглядит, как если бы у мотоциклиста на мотоцикле дроссельный клапан был зафиксирован в одном положении и он всегда должен был перемещаться по равнине пространства-времени с одной и той же скоростью. Говоря о скорости в пространстве-времени, следует быть осторожным, поскольку это не то же самое, что скорость движения в пространстве. Скорость в пространстве может быть какой угодно – лишь бы она не превышала космическое ограничение: например, наш мотоциклист может ехать в направлении, близком к северо-восточному, и при этом будет нестись со скоростью, сколь угодно близкой к скорости света. Напротив, выбирая дорогу, близкую к направлению строго на север, мотоциклист будет лишь немного смещаться в западном или восточном направлении, а значит, станет перемещаться в пространстве с совсем небольшой скоростью. Утверждение, что все в пространстве-времени движется с одной и той же скоростью, выглядит достаточно сильным и несколько обескураживающим. Это означает, что вы, сидящий в кресле и читающий эту книгу, проноситесь по пространственно-временной равнине с той же пространственно-временной скоростью, что и все во Вселенной. С этой точки зрения движение в пространстве представляет собой тень более обобщенного движения в пространстве-времени. В самом прямом смысле, как мы сейчас покажем, вы точно такой же мотоциклист с фиксированным дроссельным клапаном. Вы движетесь по пространству-времени с фиксированной скоростью во время чтения книги. Поскольку при этом вы спокойно сидите в кресле – ваше движение в пространстве-времени осуществляется по дороге, направленной строго на север. Если вы взглянете на свои часы, то увидите, как они измеряют пройденное вами расстояние в этом направлении. Это звучит довольно странно, так что давайте двигаться дальше очень внимательно и осмотрительно.
