Вернер Гильде - Зеркальный мир
Это были общие рассуждения. Затем Декарт поставил опыт, который показал, что происходит, когда луч света падает на водяную каплю. Оказалось, что он отражается и преломляется согласно законам, незадолго до опытов Декарта открытым Снеллиусом.
Декарт сделал то, что отличает истинного естествоиспытателя. Он построил и рассчитал ход преломления и отражения 10 тысяч (!) падающих на каплю лучей. Лучи с номерами от 8500 до 8600 отклонялись на наибольший возможный угол, составивший 42°. За пределами этого угла радуги не бывает. Цвет дуги определяется зависимостью преломления от длины волны.
Столь поэтическое явление, как радуга, объясняется простыми физическими законами
Прославленный изобретатель Эдисон сказал однажды: «Гений - это один процент вдохновения и девяносто девять процентов труда». Декарт как нельзя лучше подтвердил этот афоризм: одна творческая идея и 10 тыс. скучнейших расчетов. Напрашивается вопрос: зачем Декарту понадобилось такое количество вычислений? На нашем рисунке изображены лишь два луча, и этого достаточно, чтобы все объяснить. Но мы потому и можем обойтись только ими, что вычисления Декарта были столь всеобъемлющими. Ему приходилось все время опасаться, что при каком-то угле падения выявится граничный случай, который поставит под сомнение всю теорию. Ведь всякая теория может считаться верной лишь тогда, когда она подходит для всех случаев, и может быть опровергнута, если отказывает в одном-единственном. Именно поэтому ученые так осторожны (или должны были бы быть осторожны!) в своих утверждениях. В науке на того, кто решается создать новую теорию, ложится груз необходимости доказать и обосновать ее. В таких случаях полезно вспоминать Декарта и Эдисона. Идея сама по себе не может служить доказательством. Один-два или десять опытов и расчетов уже доказательнее. Десять тысяч опытов или расчетов убеждают.
ПОИЩЕМ КЛАД
Произойти может многое. Другой вопрос, как велика вероятность того, что это случится именно с нами, встретится на нашем пути, в нашей жизни. Так ли уж, например, невероятно, роясь в лавочке букиниста, найти старинную географическую карту? Вам захотелось украсить этой картой свой кабинет. Вы приносите ее домой, начинаете рассматривать, радуетесь полустершимся рисункам на полях и вдруг... замечаете едва различимые старинные письмена: «Иди от виселицы к буку и считай шаги. Дойдя до бука, поверни на 90° влево и отсчитай такое же число шагов. Вслед за тем иди от виселицы к дубу, поверни еще раз вправо на 90° и пройди то же расстояние, что от виселицы до дуба. Ровно посередине линии, соединяющей обе найденные до того точки, я закопал большой клад, который теперь принадлежит тебе».
Представьте себе, что по этому эскизу вам надобно отыскать клад
Место при этом обозначено на карте крестом. Так как это не слишком далеко от вашего местожительства, в ближайший выходной вы садитесь за руль и, сунув в багажник лопату, отправляетесь в путь. Как описать ваше изумление, когда в указанном пункте вы действительно обнаруживаете одинокий бук и развесистый старый дуб?! Вы начинаете по-серьезному верить в возможность трго, что станете счастливым обладателем клада. Но, увы, вы нигде не видите ни виселицы, ни ее следов. Пока вы продолжаете их искать, мы позволим себе кое-какие замечания.
Столкнувшись с задачей на сообразительность, большинство из нас тут же начинает ее решать. (А то, что в данном случае предложена задача именно на сообразительность, вы, очевидно, уже сообразили.) Иначе поступит математик. Прежде чем тратить усилия на решение, он исследует корректность поставленной задачи. Сегодня и ученые, и инженеры все больше понимают значение такого подхода. Специалисты по научной организации труда указывают, что в исследованиях 80% всех неудач обусловлено плохо и неточно сформулированной задачей.
Так выглядит задача о поисках клада на языке математики
Но к нашему кладоискателю это открытие приходит слишком поздно. Он бродит с лопатой в руках и все еще ищет остатки виселицы. Наконец он встречает прохожего и начинает расспрашивать его. Прохожий задумался, огляделся вокруг и рассудил: «Зачем по тем временам надо было сооружать виселицу? Если уж тогда решали кого-то вздернуть, то делали это на суку».
Поразмыслив вслед за прохожим, кладоискатель решает попытать свое счастье, приняв, что виселицей служит бук. И вот он тщательно отмеряет шаги от бука (то есть виселицы) до дуба. Возле дуба он сворачивает направо и делает столько же шагов. Из этой точки он намечает линию к буку и мысленно делит расстояние пополам. Ну а потом, поплевав на руки, начинает копать большую яму.
Читатель между тем уже усомнился в том, что положение виселицы хоть как-то влияет на нашу историю. Но, возможно, его все же интересует, что произойдет, если там действительно зарыт клад.
Однако юристы об этом уже позаботились. В Гражданском кодексе ГДР (§ 361) написано:
«Монеты, предметы, имеющие культурно-историческое значение, или другие ценные предметы, которые были погребены столь долго, что их владелец не может быть более установлен, переходят с момента их находки в собственность народа.
Нашедший обязан предъявить находку компетентным государственным органам и подробно сообщить обстоятельства, при которых она была сделана. Он имеет право на положенное вознаграждение, если выполнил свою обязанность добровольно, заявив о находке властям. Он не имеет этого права, если находка сделана им при исполнении профессиональных или других служебных обязанностей, имеющих к ней отношение».
Та же задача о поисках клада, превращенная в технический чертеж шарнирного механизма
Покончив с юридической стороной дела, перейдем к математической части задачи. Вы хотели бы точно убедиться в том, что положение виселицы действительно не играет никакой роли. В рамках данной книги проверить это достаточно просто. Где лежит клад, мы уже знаем. Итак, наметим произвольную точку G и построим оба прямоугольных треугольника согласно указаниям на карте. И всякий раз мы будем снова и снова находить клад в знакомой нам точке S.
Теперь представим себе, что вместо линий у нас жесткие стержни. В точках В, Е и S они шарнирно закреплены, так что их можно вращать. В точках В1, G и Е1 благодаря особому устройству шарниров стержни можно смещать относительно друг друга.
Станем вращать точку G по часовой стрелке, наблюдая за сопряженными движениями точек В1, и E1. Вращаясь в ту же сторону, что и G, они тоже опишут окружности.
Когда G1 находится в верхней точке круга (на отметке 12 часов), соответствующие точки B1 Е1 располагаются в зеркальных позициях: B1 - на отметке 3 часа, E1 - на отметке 9 часов. Таким образом, точки В1 и Е1 смещены относительно G соответственно на +90 и -90°. Рычаг B1-S-E1 движется при этом всегда только вверх и вниз.
Увлекшись занимательной историей с кладом, мы изобрели шарнирный механизм, в котором два вращательных движения совершаются по кругам одинакового радиуса со сдвигом по фазе на +90 и - 90°. Подобные движения со сдвигом по фазе играют важную роль при создании механических распределительных устройств. Представим себе, что окружности - это вентили. В положении, отвечающем отметке 12 часов (0 часов), они закрыты. Затем мы немного открываем вентиль G от G1 до G2. Тогда вентиль В, до того слегка приоткрытый, откроется сильнее - от В11 до В12. А вентиль E, наоборот, закроется. При дальнейшем повороте G вентиль Е опять приоткроется, тогда как вентиль В будет установлен на малое пропускное отверстие. Конечно, могут быть построены и другие комбинации, смотря по тому, что требуется конструктору.
Как видите, от геометрической задачи на сообразительность мы незаметно перешли к шарнирным механизмам и к технике регулирования: красивый пример того, как многие, казалось бы, далекие друг от друга случаи из самых разных областей практической деятельности могут быть сведены к немногим математическим или физическим положениям.
ПЛОСКОЕ ЗЕРКАЛО
Закон отражения. Падающий луч, перпендикуляр к отражающей поверхности и отраженный луч лежат в одной плоскости. Угол падения равен углу отражения.
Плоское зеркало
Плоское зеркало. Предмет рассеивает свет во все стороны. Если плоское зеркало отражает пучок лучей, то, согласно закону отражения, лучи расходятся дальше друг от друга. Возникает впечатление, что все они исходят из одного места за зеркалом - от кажущегося ( виртуального) изображения предмета. Кажущееся изображение расположено на таком же расстоянии от зеркала позади него, на каком находится Действительное изображение перед зеркалом.
