Уолтер Левин - Глазами физика. От края радуги к границе времени
Сведя воедино физику движения, взаимодействия между телами и движения планет, Ньютон предложил новый порядок астрономических измерений, показав, как то, что прежде было беспорядочным нагромождением запутанных наблюдений, сделанных астрономами за много веков, взаимосвязано между собой. Другим ученым приходили в голову проблески его идей, но они не смогли, подобно Ньютону, объединить их в единую систему.
Например, Галилео Галилей, умерший за год до рождения Ньютона, был автором ранней версии первого закона Ньютона и сумел математически описать движение тел. Он также обнаружил, что все тела падают с заданной высоты с одинаковым ускорением (при отсутствии сопротивления воздуха), однако не смог объяснить, почему так происходит. Иоганн Кеплер, разработав основополагающие принципы действия планетарных орбит, тоже не смог сказать, почему они действуют именно так. Это опять же объяснил Ньютон. И, как мы уже убедились, эти ответы и многие выводы, которые из них проистекают, никак нельзя назвать интуитивными.
Меня лично чрезвычайно интересуют и восхищают силы движения. Сила тяготения всегда с нами; она пронизывает всю Вселенную. И что самое поразительное (ну хорошо, это всего лишь одно из ее неимоверных качеств) – она действует на расстоянии. Вы когда-нибудь задумывались над тем, что наша планета остается на орбите, а мы с вами живы благодаря силе притяжения между двумя небесными телами, которые отделены друг от друга почти 150 миллионами километров?
Движущиеся маятники
Хотя сила тяготения присутствует в нашей жизни повсеместно, влияние, которое она оказывает на наш мир, довольно часто сбивает с толку. Я, например, люблю устраивать демонстрацию с маятником, чтобы удивить студентов тем, насколько парадоксально работает сила тяготения в этом несложном устройстве. Теперь расскажу и вам.
Многие из вас, возможно, думают, что если вы качаетесь на качели рядом с человеком, который намного легче вас, скажем с трехлетним малышом, то вы будете двигаться гораздо медленнее. Однако это не так. Так что вас должен немало удивить тот факт, что количество времени, необходимое для завершения одного колебания маятника (период колебания), не зависит от веса груза, висящего на этом маятнике. Обратите внимание, что я сейчас говорю о простом маятнике, а это означает, что он отвечает двум условиям. Во-первых, вес груза должен быть настолько больше веса нити, чтобы вес последней можно было не принимать во внимание. Во-вторых, размер груза должен быть достаточно мал, чтобы мы могли трактовать его как простую точку, имеющую нулевой размер[12]. Смастерить простой маятник в домашних условиях совсем нетрудно: просто привяжите яблоко к легкой нити, длина которой как минимум раза в четыре превышает размер яблока.
Итак, используя законы движения Ньютона, я вывожу в аудитории уравнение для вычисления периода колебания простого маятника, а затем проверяю это уравнение. Для этого мне надо исходить из предположения, что угол колебания маятника мал. Позвольте уточнить, что я имею в виду. Когда вы смотрите на свой самодельный маятник, раскачивающийся справа налево и слева направо, вы видите, что большую часть времени он движется либо в одну, либо в другую сторону. Тем не менее во время полного колебания маятника есть два момента, когда он замирает, после чего начинает движение в обратном направлении. В эти моменты угол между нитью и вертикальной осью достигает максимального значения, которое называется амплитудой маятника. Если не принимать во внимание сопротивление (трение) воздуха, то максимальный угол при остановке маятника в крайнем левом положении будет точно таким же, как и в крайнем правом положении. Уравнение, которое я вывожу, подходит только для малых углов (малых амплитуд). Мы, физики, называем такое выведение аппроксимацией с допущением о малости углов. Студенты обычно спрашивают меня: «А насколько мал должен быть этот угол?» А одна студентка подошла к делу еще серьезнее, спросив: «А считается ли малой амплитуда в пять градусов? Работает ли это уравнение для амплитуды в десять градусов, или десять градусов уже слишком большой угол?» Отличные вопросы, на которые я предложил ответить, не отходя от кассы.
Уравнение, которое я вывожу, довольно простое и очень элегантное, хотя тем, кто долгое время не имел дела с математикой, оно может показаться несколько устрашающим:
Здесь Т – это период колебания маятника (в секундах), L – длина нити (в метрах), значение π приблизительно равно 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 метра в секунду за секунду). Правая часть уравнения формулируется так: 2π, умноженное на корень квадратный частного длины нити, поделенное на ускорение свободного падения. Я не буду здесь вдаваться в подробности, почему это уравнение истинно (при желании вы можете проследить за ходом моих рассуждений на моих видеолекциях).
Я привожу в книге это уравнение для того, чтобы вы могли оценить, насколько точно его истинность подтверждается моими демонстрациями. Согласно данному уравнению период колебания маятника длиной в 1 метр составляет приблизительно 2 секунды. Я засекаю время, которое требуется маятнику с нитью такой длины, чтобы произвести десять колебаний, и у меня получается примерно 20 секунд. Делим на 10 и получаем период колебания 2 секунды. Тогда я перехожу к маятнику с нитью в четыре раза короче первой. В соответствии с уравнением его период колебания должен быть в два раза меньше. У моего маятника нить длиной 25 сантиметров, и на десять колебаний у него действительно уходит около 10 секунд. Пока все идет вполне обнадеживающе.
Чтобы подвергнуть выведенное уравнение более тщательной проверке, чем с использованием маленького маятника из нити с яблоком, я соорудил в аудитории другой простой маятник: канат длиной 5,18 метра со сферическим стальным грузом весом 15 килограммов. Я называю его отцом всех маятников.
Каким же будет период колебания (T) такого, куда более внушительного маятника? Подставив значения, получаем T = 2π√(5,18/9,8), то есть 4,57 секунды. Чтобы проверить этот результат, как было обещано студентам в начале лекции, я измеряю период колебания при амплитудах 5 и 10 градусов.
Я использую большой цифровой таймер, который могут видеть все студенты, показывающий время с точностью до одной сотой секунды. Время моей реакции при его включении и выключении за много лет проверено неоднократно, и я знаю, что оно составляет примерно одну десятую секунды (в удачный день). Это означает, что если я сделаю один и тот же замер десяток раз, то получу данные о периоде колебания маятника, которые будут отличаться не более чем на 0,1 (ну, возможно, на 0,15) секунды. Так что, измерю я время одного колебания или десяти, погрешность полученного показателя будет приблизительно плюс-минус 0,1 секунды. Поэтому я позволяю маятнику колебаться десять раз, что дает в десять раз более точное значение периода его колебания, чем если бы он качнулся всего один раз.
Я отвожу груз так, чтобы угол наклона каната относительно вертикальной оси составлял около 5 градусов, отпускаю его и одновременно включаю таймер. Студенты хором считают колебания, и после десятого качка я останавливаю таймер. Потрясающе – таймер показывает 45,70 секунды, в десять раз больше моей оценки времени одного колебания. Студенты в восторге аплодируют.
Тогда я увеличиваю амплитуду до 10 градусов, отпускаю груз и запускаю таймер; аудитория считает до десяти, я останавливаю таймер: 45,75 секунды. 45,75 ± 0,1 секунды за десять колебаний дает 4,575 ± 0,01 секунды на одно колебание. Результат для амплитуды в 5 градусов практически такой же, как для амплитуды в 10 градусов (в пределах погрешности данных измерений). Так что мое уравнение по-прежнему очень точное.
Затем я спрашиваю аудиторию: предположим, я сяду на груз и буду качаться вместе с ним – останется ли период колебаний прежним или изменится? Не могу сказать, что сплю и вижу, как бы забраться на эту штуку верхом (это, знаете ли, довольно больно), но ради науки, да и чтобы повеселить студентов и еще больше заинтересовать предметом, я никогда не упускаю данной возможности. Конечно, я не могу сидеть на грузе вертикально, потому что в этом случае сильно сокращу длину каната и, соответственно, несколько уменьшу период колебания. Но если пристроить тело, насколько это возможно, в максимально горизонтальном положении, чтобы быть на одном уровне с грузом, длина веревки останется практически прежней. Итак, я засовываю груз между ног, берусь за канат, сажусь на груз верхом и начинаю качаться.
Признаюсь, включать и выключать таймер, изображая груз маятника, не увеличив при этом время реакции, довольно трудно. Но я практиковал это так много раз, что совершенно уверен в своей способности сохранить погрешность измерений в пределах ± 0,1 секунды. Я качаюсь десять раз, пока студенты хором считают колебания и хохочут над абсурдностью моего положения, поскольку я, качаясь, нарочито громко причитаю и стону, – и после десятого колебания останавливаю таймер. Он показывает 45,61 секунды. Период одного колебания – 4,56 ± 0,01 секунды. «Уравнение работает!» – кричу я. Студенты в полном восторге.
