Джеймс Глейк - Хаос. Создание новой науки
Ученые, занимающиеся динамикой, полагают, что описать поведение системы с помощью уравнений значит понять ее. Что может лучше уравнений передать существенные черты системы? Уравнения, передающие движение качелей или рассмотренных выше игрушек, устанавливают связь между углом колебаний маятника, скоростью, преодолеваемым трением и движущей силой. Однако добросовестный исследователь обнаруживает, что он не в состоянии ответить на простейшие вопросы о будущих состояниях системы в силу того, что в уравнениях присутствует крошечная доля нелинейности. С помощью компьютера можно смоделировать эти состояния, бегло просчитав каждый цикл. Однако моделирование имеет свои минусы: едва заметная неточность с каждым шагом расчета нарастает, поскольку системе свойственна «сильная зависимость от начальных условий». Полезный сигнал быстро теряется в шумах.
Но теряется ли на самом деле? Открыв непредсказуемость, Лоренц одновременно обнаружил и некую регулярность. Другим исследователям также удавалось нащупать намек на структурирование в беспорядочном, на первый взгляд, поведении изучаемых систем. Тем, кто не отмахнулся от исследования маятника как объекта, чересчур простого для изысканий, удалось разглядеть весьма интригующие детали. Ученые осознали, что, хотя основное в механизме колебаний маятника уже постигнуто физикой, это знание невозможно применить для прогнозирования долговременного поведения системы. Мелкие детали были уже ясны, а поведение маятника в крупных временных масштабах все еще представлялось загадкой. Рушился традиционный, локальный подход к исследованию систем, подразумевавший рассмотрение каждого их элемента в отдельности, а затем соединение последних. В отношении маятников и жидкостей, электронных схем и лазеров метод познания, основанный на составлении уравнений, уже не оправдывал себя. Он не отвечал требованиям времени.
В 60-х годах дорогой Лоренца шли некоторые другие исследователи, среди них французский астроном, изучавший орбиты галактик, и японский инженер-электронщик, работавший с электронными микросхемами. Тем не менее первая обдуманная и согласованная попытка постигнуть суть отличия глобального поведения от локального исходила от математиков. В числе последних был Стивен Смэйл из Калифорнийского университета в Беркли, уже известный своими решениями наиболее запутанных проблем многомерной топологии. Когда один из молодых физиков как бы между прочим поинтересовался у Смэйла направлением его деятельности, то в ответ последовало всего лишь одно слово, которое просто ошеломило юношу, показавшись ему чистой воды абсурдом. Смэйл изучал осцилляторы! Все колеблющиеся системы: маятники, струны, электросхемы — представляют собой ту область знаний, с которой физики «разделываются» еще в самом начале учебы по причине ее простоты. С чего бы прославленному математику тратить время на элементарную физику? И лишь несколько лет спустя молодой человек осознал, что Смэйла интересовали нелинейные хаотические осцилляторы. Этот математик видел вещи, недоступные физикам.
Вначале Смэйл, использовавший чисто математические методы, предполагал, что практически все динамические системы в большинстве случаев начинают вести себя вполне понятно и предсказуемо, но оказался не прав. Дела обстояли отнюдь не так просто, и вскоре он это понял.
Смэйл являлся одним из тех математиков, которые не только решают проблемы, но и подкидывают их другим. Интуиция, тонкое понимание истории и природы подсказывали ему, что появилось множество новых областей знания, достойных внимания математика. Подобно удачливому бизнесмену, Смэйл оценивал возможные риски и хладнокровно планировал свою стратегию. Словно гаммельнский крысолов, он обладал способностью очаровывать и увлекать за собой людей; куда шел Смэйл, туда устремлялись многие. Не ограничиваясь занятиями математикой, он в самом начале войны во Вьетнаме организовал вместе с Джерри Робином акцию «Международные дни протеста», которая преследовала цель добиться запрета на передвижение армейских составов через Калифорнию. В 1966 г., когда Комиссия по антиамериканской деятельности пыталась вызвать его на судебные слушания, Смэйл уехал на Международный конгресс математиков в Москву. Там он был удостоен медали Филдза, самой престижной награды в области математики.
История, случившаяся летом 1966 г. в Москве, стала одной из легенд, ореол которых окружил этого удивительного человека. На конгрессе, где собралось пять тысяч математиков, кипели эмоции, разгорались политические страсти, составлялись разнообразные обращения и петиции. Ближе к концу Смэйл, по просьбе журналиста из Северного Вьетнама, провел пресс-конференцию прямо на широких ступенях Московского университета. Свою пламенную речь он начал с осуждения американской интервенции во Вьетнаме, но, заметив радостные улыбки чиновников принимавшей стороны, обрушился и на предосудительное поведение советских войск в Венгрии, ущемление гражданских свобод в Советском Союзе. Вскоре после этого Смэйл был вынужден объясняться с советскими «математиками в штатском», а возвратясь в Калифорнию, узнал, что Национальный фонд науки лишил его гранта.
Медали Филдза Смэйл был удостоен за выдающиеся исследования в области топологии — раздела математики, который начал развиваться в XX веке, достигнув особого расцвета в 50-е годы. Предметом топологии являются те свойства и качества, которые остаются неизменными (или инвариантными) при деформации геометрических фигур путем скручивания, сжатия или растяжения. Очертания и величина фигур — квадратные они или круглые, большие или маленькие — для топологии не столь важны, так как могут быть изменены деформацией. Для тополога представляет интерес другое: есть ли на поверхности фигуры разрывы или отверстия, не имеет ли она форму узла. Предмет исследования топологии не одно-, дву- и трехмерные поверхности, как в Евклидовой геометрии, а многомерные пространства, не поддающиеся отчетливому визуальному представлению. Объекты топологии подобны геометрическим телам на растягивающейся листовой резине, и рассматривает она не столько количественные, сколько качественные характеристики, т. е. раскрывает структуру в целом, не вдаваясь в измерение ее параметров. Смэйл разрешил одну из основных, имеющих длинную историю задач топологии — так называемую проблему Пуанкаре для пятимерного пространства и пространств большей размерности. Благодаря этому он встал в один ряд с выдающимися собратьями по ремеслу. Тем не менее в 60-х годах Смэйл, оставив топологию, вступил на неизведанную почву — занялся динамическими системами.
Возникновение топологии и теории динамических систем восходит еще ко временам Анри Пуанкаре, который считал эти дисциплины двумя сторонами одной медали. На рубеже веков Пуанкаре, последним из великих математиков, применил геометрию для описания законов движения в физической. Вселенной. Пуанкаре раньше всех осознал проблему хаоса. Его работы содержат смутные указания на возможную непредсказуемость, столь же трудноуловимую, как и в исследованиях Лоренца. Однако после смерти французского математика топологию ожидал расцвет, а динамические системы — забвение. Само понятие вышло из употребления. Предмет, на который обратил свое внимание Смэйл, назывался теорией дифференциальных уравнений. Последние использовались для описания изменений системы во времени, причем, в согласии с господствующей традицией, объекты рассматривались «локально». Подразумевалось, что инженер или физик примет во внимание лишь один набор параметров, передающих движение в данный момент времени. Смэйл, как и Пуанкаре, стремился исследовать явления в глобальном масштабе, желая постигнуть все богатство возможностей сразу.
Любая совокупность уравнений, описывающих динамическую систему (в частности, уравнения Лоренца), позволяет установить определенные начальные параметры. В случае с тепловой конвекцией, например, один из заданных параметров характеризует вязкость жидкости. Значительные изменения исходных данных могут повлечь за собой ощутимые перемены в системе, скажем, расхождение между пребыванием системы в стабильном состоянии и ее периодическими колебаниями. Однако физики предположили, что слабые изменения способны вызвать лишь незначительное расхождение в числовых данных, но никак не в качественном поведении системы.
Увязав топологию и динамические системы, ученые получили бы возможность использовать некую форму для наглядного представления всего разнообразия моделей поведения систем. Если система сравнительно проста, эта форма очертаниями может напоминать изогнутую поверхность. Сложные системы обладают множеством измерений. Точка на поверхности описывает состояние системы в определенный момент времени. По мере развития системы во времени точка передвигается через всю поверхность, описывая на ней своеобразную траекторию. Легкий изгиб формы соответствует изменению параметров системы, повышению вязкости жидкости или небольшому увеличению движущей силы маятника. Приблизительно одинаковые формы свидетельствуют о приблизительно одинаковом поведении. Если форма доступна зрительному представлению, систему можно решить.
