Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Тогда мы можем записать тензор кривизны Римана Rijkl (порядок и расположение индексов имеет важное значение). Подобно тому как элементы метрического тензора gij описывают линейный элемент, элементы тензора кривизны Римана говорят о том, как исходные векторы превращаются в вектор кривизны :

Xi = RijklWjUkVl. (7.21)

В этой формуле мы применили правило Эйнштейна: на самом деле в правой части вычисляется сумма значений, полученных путем перебора индексов j, k и l.

Понятно, что тензор Rijkl состоит из большого количества элементов. У нас четыре индекса, каждый из которых принимает на d-мерном многообразии d значений. Итого d4 элементов: 81 при трех измерениях, 256 при четырех, а дальше еще много больше.

К счастью, тензор Римана обладает симметрией, которая несколько облегчает жизнь физиков. Некоторые элементы довольно просто связаны друг с другом. К примеру, если поменять местами последние два индекса, получится то же самое число, но со знаком «минус»: Rijkl = — Rijlk. Благодаря таким соотношениям общее количество независимых элементов тензора при d измерениях составит . В четырехмерном пространстве потребуется двадцать независимых элементов: многовато, но преодолимо. Зато при двух измерениях в тензоре будет всего один независимый элемент, то есть кривизна в каждой точке двумерного многообразия характеризуется обычным числом (положительным или отрицательным). А в одномерном пространстве в тензоре Римана вообще нет независимых элементов! Мы можем нарисовать одномерную кривую и объявить, что она изогнута. Но это ошибка: мы видим ее глазами внешнего наблюдателя. В самом же одномерном мире понятие кривизны в принципе отсутствует.

Кривизна вполне определенным образом зависит от метрики, но эта зависимость сложна, а потому я снова направляю вас к подробным выкладкам из приложения Б. Сейчас вам важно уяснить основные понятия: метрика, параллельный перенос, геодезические линии, кривизна. Эти математические инструменты понадобятся для понимания общей теории относительности Эйнштейна.

Восемь. Гравитация

Классическая механика, какое бы впечатление ни сложилось у вас при чтении предыдущих глав, не является теорией физики. Это, скорее, каркас, на котором могут строиться полноценные теории. Согласно классической механике, «физическая система описывается импульсами и положениями либо их соответствующими обобщениями, и эти переменные подчиняются уравнениям Ньютона, Гамильтона или принципа наименьшего действия». При этом остается неясным, какие силы действуют, какой вид имеет гамильтониан или что это за действие. Гравитация Ньютона, напротив, является полноценной теорией, так как дает точное определение силы (закон обратного квадрата), на основе которого можно предсказывать движение реальных объектов. Существует множество полноценных теорий, входящих в широкую структуру классической механики.

Квантовая механика — тоже каркас, альтернатива механике классической, и на нем также основаны настоящие теории, в том числе специальная теория классического простого гармонического осциллятора и отдельная теория квантового простого гармонического осциллятора. Практически все теории, о которых задумываются современные физики, построены либо на классическом, либо на квантовом каркасе.

Теория относительности — еще один каркас. Конкретные теории могут быть «нерелятивистскими» (как, например, гравитация Ньютона) или «релятивистскими» (как электромагнетизм Максвелла). Различие сводится к точке зрения на пространство-время: нерелятивистские теории оперируют абсолютным пространством и временем, допускают мгновенное дальнодействие, в то время как в релятивистских используются световые конусы, а скорость жестко ограниченна. Нерелятивистские/релятивистские категории пересекаются с классическими/квантовыми, и существуют модели, которые подходят к любой из этих категорий.

Классическая

Квантовая

Нерелятивистская

Гравитация Ньютона

Квантовый гармонический осциллятор

Релятивистская

Электромагнетизм Максвелла

Квантовая электродинамика

В физике многие явления сначала изучаются в классическом или нерелятивистском ключе, а затем, после небольших усилий, выстраивается их понимание в квантовом или релятивистском.

Теория относительности в значительной степени вдохновлена электромагнетизмом Максвелла — парадигматически классической релятивистской теории. Появившись, теория относительности вдохновила ученых на пересмотр старых теорий о силах природы и приведение их в новые рамки. Естественно, что дело дошло и до гравитации, которую Ньютон так успешно описал при создании нерелятивистской классической механики.

Однако предложить правдоподобную релятивистскую теорию гравитации оказалось непросто. Эйнштейну на это потребовалось десять лет: он выдвинул специальную теорию относительности в 1905 году, а общую, окончательную — только в 1915-м. Не он один работал над этой проблемой: финский физик Гуннар Нордстрём разработал альтернативную теорию, переписываясь с Эйнштейном по ходу работы. Однако непревзойденная физическая проницательность Эйнштейна и его дар к мыслительным экспериментам в конце концов победили. Специальная теория относительности была огромным шагом вперед. Фундаментальная работа по квантовой механике (также опубликованная в 1905 году) удостоилась Нобелевской премии, но именно общая теория относительности — учение об искривленном пространстве-времени — сделала Эйнштейна самым знаменитым ученым XX века.

Инерциальная и гравитационная масса

Масса и гравитация особым образом взаимосвязаны. Согласно второму закону Ньютона, воздействующая на объект сила равняется массе, умноженной на ускорение. При этом, согласно закону обратных квадратов, сила тяготения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

«Масса» фигурирует в обоих законах, но выполняет при этом совершенно разные функции. Во втором законе масса является мерой инерции — сопротивления, которое тело оказывает ускорению. Она неизменна и не зависит от силы, которая вызывает это ускорение. Однако в законе всемирного тяготения масса влияет на то, как сила воздействует на соответствующий объект. Так почему же столь разные по функциям величины равны друг другу?

Чтобы подчеркнуть это различие, обозначим инерциальную массу объекта буквой m, а гравитационную — буквой M. Второй закон Ньютона гласит, что

(8.1)

Закон всемирного тяготения (обратных квадратов) для двух объектов 1 и 2 выражается формулой

(8.2)

И все же в реальном мире получается, что обе массы — инерциальная и гравитационная — равны:

m = M. (8.3)

Для этого нет никаких очевидных причин. Рассмотрим, к примеру, закон Кулона, который определяет силу взаимодействия двух электрически заряженных частиц. Это тоже закон обратных квадратов:

(8.4)

Выражение (8.4) очень похоже на закон всемирного тяготения. Постоянная Кулона K аналогична гравитационной постоянной G, а электрические заряды Q1 и Q2 — гравитационным массам. И все-таки тут скрыто огромное отличие: электрический заряд, который является причиной появления электрической силы, никак не связан с инерциальной массой объекта. Он может быть положительным (как у протона), отрицательным (как у электрона) и даже нулевым (как у нейтрона). Разные частицы по-разному реагируют на электромагнитную силу, а некоторые не реагируют на нее вообще. При этом все частицы подчинены силам тяготения в строгом соответствии с их массой. Более того, под действием гравитации объекты всегда притягиваются друг к другу.