Дэвид Берлински - Искушение астрологией, или предсказание как искусство
Некоторые правильные многоугольники, замечает Кеплер, можно построить с помощью линейки и циркуля, классических инструментов евклидовой геометрии. Такие многоугольники познаваемы, все прочие непознаваемые. Познаваемые многоугольники, считал Кеплер, — это опорные точки миропорядка, положенные на плоскость Богом.
Мозаика на плоскости из треугольников, квадратов и шестиугольников
Если многоугольники можно классифицировать на основании того, что они собой представляют, рассуждает далее Кеплер, то тогда и на основании того, что они делают. Геометрическая плоскость сама по себе начисто лишена какой-либо структуры. У нее есть два измерения, но никаких внутренних особенностей. Однако, взяв бесконечное количество квадратов, математик может покрыть плоскость ими, ставя их подряд, так, чтобы не оставалось зазоров. В результате получится мозаика плоскости. А пятиугольник, напротив, не может закрыть плоскость мозаикой. И не важно, каким образом располагаются эти пять сторон, в любом случае где-то плоскость будет проглядывать.
Кеплер открыл три удивительных звездных многогранника. На рисунке изображен самый простой из них. Весь многогранник можно выложить мозаикой из правильных плоских фигур — в данном случае треугольников
Именно это обстоятельство подсказало Кеплеру вторую схему для классификации — и второй способ классификации правильных многоугольников. Те многоугольники, которые можно сложить так, чтобы получилась мозаика, Кеплер назвал контактными, а остальные неконтактными. Всего три правильных многоугольника контактны сами с собой, иначе говоря, самоконтактны, если построить такой неологизм. Это равносторонний треугольник, квадрат и шестиугольник.
Но по тому же признаку разные виды самоконтактных многоугольников могут объединяться друг с другом и складываться в собственную мозаику: квадраты с треугольниками или шестиугольники с квадратами. Получится полуправильная мозаика на плоскости.
Переходим на следующий, последний уровень сложности. Сложить мозаику можно не только на плоскости. Платоновы тела заполняют часть пространства и, таким образом, существуют в трех измерениях. Но каждое тело составлено из граней, которые сами по себе — правильные многоугольники. Вот что такое куб, если не шесть блуждающих квадратов, встретившихся в восьми ожидавших их вершинах? Тела, образованные таким способом, называются однородными многогранниками, они покрываются правильными прямоугольниками со стороны соответствующих им многоугольников по принципу квадрат к кубу. Но мозаичные многогранники выходят за пределы тел Платона лишь немного, включая в себя три эффектных звездных многогранника, открытых Кеплером. И это опять трехмерные тела, чьи грани могут быть покрыты набором правильных многоугольников.
Вернемся к ключевому понятию — контактности. Контактность многоугольника — это количество способов, которыми он может взаимодействовать с другими правильными многоугольниками, чтобы закрыть плоскость или однородный многогранник.
Определения исчерпаны, и классификация Кеплера завершена.
Теперь на сцену выходят астрологи. Аспект играл свою роль в астрологии еще со времен древних греков, если не раньше. В конце концов, ведь зодиак — это гигантский круг, охватывающий Землю. Когда две (или более) планеты идут по его окружности, дуга между ними меняется в каждый момент времени. Птолемей в Tetrabiblos представил пять важных единиц, соответствующих углам в 0, 60, 90, 120 и 180 градусов. Когда планеты находятся в этих позициях, заявлял Птолемей, их влияние значительно. Выдвинув свои утверждения без доказательств, он ожидал, что астрологи примут их без тени сомнения. Собственно, так оно и случилось.
В Harmonicum Mundi Кеплер добавил в астрологию еще восемь аспектов. Однако его аспекты выводятся из базисной геометрической теории и возникают благодаря доказательству, которое, хотя и не всегда рационально, не так уж произвольно. Обе Кеплеровы геометрические иерархии играют роль в его астрологической теории.
Угловой аспект, возникающий из секстиля между планетами, вписанными в данном случае в шестиугольник
Итак, представим, что зодиак стоит на своем месте, а две планеты вращаются по его окружности. А теперь остановим их на мгновение. Проведем прямую, соединяющую каждую из них с точкой на Земле, находящейся в центре зодиака. Далее астролог проведет третью прямую, соединяющую планеты. Получится хорда, разрезающая круг зодиака. Эта хорда — одна из сторон многоугольника. Чтобы достроить его, астрологу остается только вычислить величину его внутренних углов. А ее подскажет исходный угол между планетами. Вписанный многоугольник окажется внутри зодиака, как продукт астрологического умозаключения.
И в этом нет ничего чуждого традиционной астрологической мысли. Между двумя планетами в самом деле есть угол. У аспектов найдется реальное основание в наглядной геометрии. Но поскольку в распоряжении аспектов — 360 градусов, а следовательно, бесконечно много вариантов угловых соотношений между двумя планетами, астрологу требуется, утверждает Кеплер, некоторая схема для различения аспектов, способных влиять на дела человеческие, и всех остальных.
Именно это и дает Кеплерова схема классификации. Аспект силен с астрологической точки зрения, говорит он, если соответствует вписанному многоугольнику, который одновременно познаваем и контактен. Например, секстиль — классический Птолемеев аспект. Планеты, разделенные аспектом секстиль, располагаются в вершинах вписанного шестиугольника, который и познаваем, и контактен. Стало быть, секстиль — астрологический сильный аспект. Он требует внимания, ибо контролирует явления.
Если расширить эти доводы, можно прийти к классификации астрологических аспектов на основании их познаваемости и контактности. Более того, они приведут нас к ранжированию аспектов по степени их силы, или «благородству», как выразился Кеплер. Самые сильные аспекты — оппозиция и слияние. Самые слабые лежат между восемнадцатью и двадцатью четырьмя градусами.
Какие бы суждения ни возникали сегодня о теории аспектов Кеплера, ясно одно: работая в рамках теорий, доставшихся ему в наследство, он сумел привнести в доктрину, по большому счету весьма прихотливую, но определенную долю математической достоверности. Иоганн Кеплер провел следующие четырнадцать лет в Линце, городе, славящемся ныне своим шоколадом. Он снова женился и претерпел новые испытания. Его биография показывает нам человека, которому постоянно досаждали мелкие неудобства: неумелые печатники, финансовые затруднения и нетерпимость окружающих. Так, например, ему отказали в праве стать прихожанином местной церкви из-за некоторых особенностей его вероисповедания, причем столь ничтожных, что их и разглядеть-то почти невозможно.
Вдобавок его мать обвинили в колдовстве. Это известие, говорит он, «едва не заставило сердце вырваться из его тела». Несмотря на вынужденный отъезд из Праги, Кеплер сохранил должность императорского математика. Ему пришлось воспользоваться своим авторитетом, чтобы спасти мать от костра. Ужасная и трогательная история. Сам Кеплер верил в ведьм и, как самый простой немецкий крестьянин, в злых духов. Такие верования были распространены и среди католиков, и среди протестантов. Чем решительнее их отстаивали, тем очевиднее они казались. Кеплер просто психологически не мог совершить путешествие в Вуртембург и заявить с возмущением, что обвинения против его матери абсурдны. Он мог утверждать лишь то, что она невиновна. Процесс тянулся более года, и в конце концов мать Кеплера оправдали благодаря некой юридической тонкости.
В таких весьма сложных обстоятельствах великий ученый завершил вторую часть своей обширнейшей астрологической схемы. Кеплерова теория астрологических аспектов представляет собой описание определенных пространственных гармоний между планетами. Но одних аспектов ему было мало. За долгие годы трудов, посвящая все силы всматриванию в космос, Кеплер решился на еще большую дерзость: составление схемы координации музыкальных и небесных гармоний напрямую. Птолемей постиг музыкальные гармонии, последовательно деля веревочку на отрезки. Ушами он различил разделения, которые соответствуют тому, что хорошо звучало и доставляло ему наслаждение. Кеплер счел это крайне неудачной методикой. Как и всякий нормальный математик.
Понятие познаваемости стало доминировать в его сознании и служило для концентрации внимания. Любимая веревочка Птолемеевой теории завернулась в круг и тем самым соотнеслась с зодиаком. Далее Кеплер представил все возможные познаваемые многоугольники и вписал их в окружность так, чтобы все вершины лежали на ней. Для этого упражнения недостаточно карандаша и листа бумаги. Познаваемых многоугольников бесконечно много. Они непрерывно толкались в голове Кеплера. Давайте пройдем по пути рассуждений Кеплера, когда он вписывал шестиугольник в окружность, фигуру познаваемую и контактную, как оказалось. Шестиугольник делит круг там, где касается его окружности. Очень хорошо. Это верно. Тогда Кеплер предполагает — так и слышишь его довольное бормотание, долетающее к нам через столетия, — что следует присмотреться к соотношению стороны и целого, определенному данным разделением. Тут случается проблеск мысли, похожий на щелчок и вспышку зажигаемой спички. Только что найденное соотношение соответствует познаваемому правильному многоугольнику само по себе. А вот и вспышка. Разбиения круга, произведенные именно такими познаваемыми правильными многоугольниками, и есть необходимые гармонические коэффициенты.
