Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон
(6.15)
При очень малых значениях v коэффициент 
примерно равен 1 и может быть опущен. Тогда нулевой компонент 4-скорости V 0 будет равен 1, а остальные компоненты — соответствующим компонентам трехмерного вектора скорости 
. Поэтому иногда мы будем писать, что V μ ≈ (1, v), что верно для малых скоростей.
А теперь в дело вступает магия. В дорелятивистской механике Ньютона импульс представляет собой трехмерный вектор, равный произведению вектора скорости на массу: 
. В мире относительности можно определить 4-импульс, по аналогии равный произведению массы на 4-скорость:
pµ = (p0, px, py, pz) = mVµ. (6.16)
Сравнивая эту формулу с выражением (6.15), можно заметить, что пространственные компоненты 4-импульса аналогичны ньютоновскому определению импульса, но с добавлением коэффициента 
. А что с временным компонентом? Мы получаем:
(6.17)
Иными словами, временной компонент 4-импульса равен массе объекта, деленной на коэффициент, зависящий от скорости.
Как обычно, мы можем сделать несколько выводов для малых скоростей (взять «нерелятивистский предел»). Но в этот раз мы используем мощный математический прием: любое выражение типа (1 + х)n, в котором x очень мало, а n — постоянное число, можно довольно точно аппроксимировать суммой:
(6.18)
Точки в конце означают, что количество слагаемых больше (при положительных n их будет бесконечно много). Они пропорциональны квадрату, кубу и более высоким степеням x, то есть при малых x и сами пренебрежимо малы. Поэтому их можно опустить.
Наш вездесущий коэффициент 
имеет именно такой вид: в данном случае x = —ν2, а n = –1/2. (Квадратный корень из любого числа равен этому числу в степени 1/2, а единица, деленная на любое число, равна этому числу в степени –1.) Поэтому для малых скоростей имеем:
(6.19)
Подставив это выражение в формулу (6.17), получим:
(6.20)
Второе слагаемое выглядит знакомо: это кинетическая энергия. Оказывается, что нулевой компонент 4-импульса представляет собой нечто энергоподобное и равен сумме массы и кинетической энергии.
А почему бы нам не определить энергию релятивистского объекта как нулевой компонент его 4-импульса? Мы можем записать:
(6.21)
В качестве побочного эффекта из этой формулы понятно, почему ракеты не могут летать со скоростью выше скорости света. Чем ближе v к 1, тем 
ближе к нулю, а 
— к бесконечности. Чтобы разогнать ракету до скорости света, а тем более превысить ее, потребуется бесконечное количество энергии. Это невозможно.
Если же скорость намного меньше скорости света, то в силу выражения (6.20) получим:
(6.22)
Мы говорим, что кинетическая энергия — это «энергия объекта, связанная с его движением». Другое слагаемое, которое равно просто массе m, можно понять как «энергию, которую объект имеет в состоянии покоя». Назовем ее энергией покоя, Eпокоя = m.
В этом выражении не все в порядке с единицами измерения. Возможно, это связано с тем, что мы принимаем c = 1 и опускаем. Мы знаем, что энергия измеряется в единицах массы, умноженных на квадрат единицы скорости. Поэтому мы можем устранить проблему, домножив массу на c2. Так мы приходим к знаменитой формуле:
Eпокоя = mc2. (6.23)
Чаще всего слово «покоя» в этой формуле опускается. Это неправильно и может вводить в заблуждение. На самом деле смысл ее в том, что объекты обладают энергией, даже когда находятся в полном покое, и эта энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света. (Кроме того, можно сказать, что масса объекта равна «значению 4-импульса объекта в неподвижной системе отсчета». Оба варианта верны.)
То, что мы рассмотрели — самый известный пример концептуальной унификации, которую дает нам специальная теория относительности. Энергия и импульс — не независимые понятия: энергия лишь временеподобная версия импульса. В этом и состоит одна из замечательных особенностей физики: разрозненные понятия могут быть собраны вместе силой одной хорошей теории.
Семь. Геометрия
Когда в 1907 году Минковский предположил, что лучше всего рассматривать специальную теорию относительности в терминах единого четырехмерного пространства-времени, Эйнштейн отнесся к этому скептически. В печати он жаловался, что подход Минковского «предъявляет к читателю довольно высокие математические требования».
Но вскоре Эйнштейн оценил труды Минковского. Это случилось, когда вдруг стало понятно, что гравитацию можно рассматривать как проявление кривизны пространства-времени, а значит, расширить теорию относительности. Однако какая же физическая теория без уравнений? И в данном случае на помощь приходит геометрия, особенно геометрия Римана, которая позволяет произвольно искривлять пространства и изучать их изнутри, а не встраивать их в какое-то более многомерное пространство.
Увы, Эйнштейн ничего не знал о геометрии Римана. В то время она была почти никому не известна, поскольку появилась лишь в середине XIX века и к 1910-м годам не нашла какого-то особого применения в физике. Но к счастью, Марсель Гроссман, старый одноклассник Эйнштейна, работал профессором математики и неплохо владел этой темой. С помощью Гроссмана Эйнштейн довольно хорошо освоил геометрию Римана и сформулировал общую теорию относительности — собственный взгляд на теорию гравитации.
Теперь пришла наша очередь. Если сам Эйнштейн, отложив собственные труды, выучил геометрию Римана, можно ли нам оставаться в стороне? Поэтому мы посвятим ей целую главу (ведь, несомненно, Риман предложил одну из «величайших идей»), а в следующей главе мы используем ее во благо физики.
Геометрия Евклида
С удовольствием или отвращением, но все мы помним школьные уроки геометрии. Все эти треугольники, окружности и другие фигуры. То, что мы изучали тогда, неразрывно связано с Евклидом, античным математиком, который жил в Александрии, примерно тогда же, когда Аристотель писал свои философские трактаты. Геометрию Евклида можно назвать «настольной», поскольку все фигуры и линии можно изобразить на плоской, двумерной поверхности (хотя достаточно легко перенести в трехмерное или многомерное пространство).
Влияние Евклида заключается не столько в конкретных результатах — теоремах о свойствах геометрических фигур, — сколько в самом подходе, который он предложил. На самом деле многое из того, что вошло в геометрию Евклида, было известно и до его работ:
• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
• Сумма углов треугольника равна 180° (π радиан).
• Длина окружности равна 2πr, где r — ее радиус.
• Площадь круга равна πr2.
