Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс
Шаг 2
Перемножим цифры в правом столбце: 7 × 3 = 21. Последняя цифра этого числа есть последняя цифра в ответе. Запишем ее внизу в правом столбце и перенесем возникшую 2:
Шаг 3
Найдем сумму скрестных произведений: (5 × 3) + (7 × 4) = 15 + 28 = 43. Прибавим перенесенную 2, что даст 45. Последняя цифра этого числа — то есть 5 — записывается внизу в левом столбце, а 4 переносится:
Шаг 4
Перемножим цифры в левом столбце: 5 × 4 = 20. Прибавим к этому перенесенную 4, что даст 24, и получим окончательный ответ, 2451:
Данный метод можно обобщить на умножение чисел любой величины. Изменения затрагивают только порядок, в котором числа скрестно перемножаются.
Рассмотрим, например, умножение 376 × 852:
Шаг 1
Начинаем с правого столбца: 6 × 2 = 12:
Шаг 2
Далее берем сумму скрестных произведений между столбцом единиц и столбцом десяток: (7 × 2) + (6 × 5) = 44 плюс перенесенная 1. Получается 45:
Шаг 3
Теперь переходим к скрестным произведениям между столбцом единиц и столбцом сотен и прибавляем к ним вертикальное произведение в столбце десяток: (3 × 2) + (8 × 6) + (7 × 5) = 89 плюс еще перенесенная 4. Получается 93:
Шаг 4
Сдвигаясь налево, перемножим накрест первые два столбца: (3 × 5) + (7 × 8) = 71, к чему прибавим перенесенную 9. Получается 80:
Шаг 5
И наконец, найдем вертикальное произведение в левом столбце: 3 × 8 = 24, к чему прибавим перенесенную 8. Получается 32. Окончательный ответ: 320 352.
«Вертикально и крест-накрест», или «скрестное умножение», оказывается быстрее, чем умножение столбиком и занимает меньше места. Кеннет Уильямс сказал мне, что всякий раз, как он объясняет ведический метод школьникам, они воспринимают его очень легко. «Почему же, — спрашивают его дети, — нам не объясняли такого раньше?» В школах предпочитают умножение столбиком по той причине, что в нем подробно расписаны все промежуточные стадии вычисления. При использовании приема «Вертикально и крест-накрест» часть алгоритма остается скрытой.
Уильямс полагает, что этот прием — штука небесполезная и даже может помочь более слабым ученикам. «Наша задача — сориентировать, а не требовать, чтобы дети знали все и всегда. Некоторым детям хочется знать, как работает алгоритм умножения, другие не желают вникать в детали, и все, что им нужно, — это иметь возможность выполнить вычисление». Если учитель настаивает на следовании общим, но непонятным правилам, сказал он, то может оказаться, что ребенок так и не научится умножать и вообще ничего не получит от обучения. А для более сообразительных детей, добавил Уильямс, ведическая математика оживляет преподавание арифметики. «Математика — предмет творческий. Коль скоро дети видят, что имеются различные методы, им приходит в голову, что они и сами могут изобрести свой собственный, и таким образом начинают относиться к предмету более творчески. Математика — на самом деле штука веселая, даже забавная, а ведическая математика дает хороший способ преподавать ее именно таким образом».
* * *Одной аудиенции с Шанкарачарьей не хватило, чтобы обсудить все, что хотелось, так что мне предоставили еще одну. В самом начале церемонии старший ученик заявил: «Мы хотели бы кое-что сказать касательно нуля». После чего сам Шанкарачарья в течение десяти минут оживленно вещал на хинди, а старший ученик переводил. «В современной математической системе нуль рассматривается как несуществующая сущность, — объявил он. — Мы намерены исправить это аномальное положение. Нуль нельзя рассматривать как несуществующую сущность. Попросту говоря, одна и та же сущность не может существовать в одном положении и не существовать в другом». Суть рассуждения Шанкарачарьи, как мне кажется, сводилась к следующему. Люди рассматривают 0 внутри числа 10 как существующий, но при этом 0 сам по себе рассматривается как нечто несуществующее. Здесь имеется противоречие: нечто должно или существовать, или нет. Так что нуль существует. «В ведической литературе нуль рассматривается как вечносущее число, — сказал он. — Нуль нельзя никаким образом уничтожить. Он представляет собой неразрушаемый фундамент. Он лежит в основе всего». Я решил больше не задавать вопросов, поскольку мои замечания сначала переводили на хинди, обсуждали, а потом ответ переводили обратно на английский, так что эти ответы всякий раз запутывали меня еще больше. Пусть, подумал я, переводимые слова просто проплывают надо мной, пока аудиенция не закончится.
Я отвлекся и стал разглядывать Шанкарачарью. На нем было оранжевое одеяние, с большим узлом, завязанным сзади на шее, а его лоб был вымазан бежевой краской. Интересно, размышлял я, как это — жить так, как живет он. Мне говорили, что он спит в пустой комнате, где нет никакой мебели, ест каждый день одно и то же надоевшее карри и не испытывает никакой необходимости или привязанности к собственности. В самом начале церемонии к нему подошел паломник и вручил ему чашу с фруктами. Приняв фрукты, Шанкарачарья немедленно раздал их нам. Мне досталось манго.
Всячески пытаясь осмыслить мудрость Шанкарачарьи, я стал думать об утверждении, что «нуль есть существующая сущность», и повторял его в своей голове как мантру. Внезапно ход моих мыслей нарушился, вслед за чем пришло более глубокое понимание этой фразы. Согласно индуистскому мышлению, ничто не было ничем. Ничто было всем. И аскетичный, добровольно отказавшийся от всех земных благ Шанкарачарья был идеальным олицетворением этого ничто. Напротив меня восседал господин Нуль собственной персоной — воплощение «шуньи» в крови и плоти.
Индийской философии так же внутренне присуща концепция «несуществования», как и индийской математике — концепция нуля. Концептуальный скачок, приведший к изобретению нуля, произошел в цивилизации, которая приняла пустоту как суть Вселенной. Символ изображения нуля, возникший в Древней Индии, в полной мере воплотил в себе главное откровение Шанкарачарьи о том, что математику невозможно отделить от духовности. Окружность, олицетворяющая нуль, была выбрана потому, что выражает циклическое движение небесного свода. Нуль означает ничто, и это означает вечность.
* * *Законная гордость, связанная с изобретением нуля, привела к тому, что математическое мастерство стало частью индийской национальной идентичности. Школьникам предписано учить таблицу умножения до 20, что в два раза больше, чем учил я в обычной английской школе[23]. В предшествующие десятилетия индийские школьники должны были заучивать таблицу умножения до 30. Один из ведущих неведических индийских математиков С. Г. Дани сказал мне по этому поводу: «Когда я был ребенком, у меня сложилось твердое впечатление, что математика представляет собой нечто исключительно важное». Для взрослых было обычным делом задавать детям математические задачки, и правильные решения весьма приветствовались. «Помимо своей практической пользы, математика — это нечто такое, чему в Индии придается большое значение как среди коллег, так и в кругу друзей».
Дани — старший профессор математики в Институте фундаментальных исследований Тата в Бомбее. Он носит очки в черепаховой оправе, его курчавые волосы камуфлируют залысину на академический манер, верхнюю губу прикрывают усы. Он вовсе не фанат ведической математики; по его мнению, в Ведах нельзя найти арифметические методы Тиртхи, да и особой пользы от этих методов нет. «Не думаю, что они делают математику какой-то особенно интересной. Главное в них то, что эти алгоритмы ускоряют счет, а не то, что они делают это занятие таким уж интересным или позволяют лучше усвоить алгоритм вычислений. Весь интерес — в результате, а не в процессе».
