Карл Саббаг - Веревка вокруг Земли и другие сюрпризы науки
Находясь, как все математики, в непрестанном поиске новых знаний, семейный тандем ученых из Нью-Йоркского университета — отец и сын[26] — решил установить минимальный размер кусочка фольги, необходимого, чтобы завернуть «Моцарткугель». Ведь заметное уменьшение размеров фантика позволило бы производителям конфет сэкономить на фольге.
В настоящее время используются два типа фантиков: один квадратный со стороной π ×√2, а другой прямоугольный со сторонами π и 2π. (Отрадно осознавать, что еще до того, как к «Моцарткугелям» потянулись руки американских математиков, в разработке фантиков использовался математический расчет.) В обоих случаях площадь обертки приблизительно на 60 % превышает площадь поверхности конфеты, из-за чего около трети идущей на фантики фольги пропадает впустую.
Не иначе как развернув (а возможно, и съев) немало «Моцарткугелей», математики наконец объявили, что нашли способ упаковывать конфеты в меньшее количество фольги. Они выяснили, что если взять фантик в виде равностороннего треугольника со стороной чуть меньше радиуса шарика, умноженного на пять, то можно завернуть в него конфету целиком и фольги на такой фантик уйдет на 0,1 % меньше, чем на нынешнюю обертку. А если найдутся критиканы, считающие, будто достигнутый результат яйца выеденного не стоит и замечательные математики с их несомненными талантами зря потратили силы, то ученые, надув щеки (а может, засунув туда по парочке ку-гелей), возразят, что их открытие может позволить фабрике, производящей «Моцарткугели», снизить углеродсодержащие выбросы в атмосферу, а значит, «хоть отчасти, но решить проблему глобального потепления».
А если я поведаю, что компания, производящая подлинные «Моцарткугели» (есть еще несколько имитаторов), выпускает в год 1,4 миллиона конфет, вам, может быть, удастся ответить на следующий вопрос Ферми (см. главу «Сколько в Чикаго фортепианных настройщиков?»): сколько килограммов фольги в год сэкономит фабрика, перейдя на фантики в виде равносторонних треугольников?
Гипотеза пожарного
Английский математик Годфри Харолд Харди (1877–1947), работавший в абстрактной сфере так называемой чистой, не прикладной математики, в своей книге «Апология математика» попытался оспорить популярное мнение, будто бы математика — удел избранных и интересоваться ею может лишь незначительная доля населения. Впрочем, попытки его выглядели не особенно убедительно — в одной из своих статей о математике он писал: «“Vorlesungen” [ «Лекции о теории чисел»] Ландау[27] или “История” Диксона[28] — шесть великих томов ошеломляющей эрудиции — куда лучше подходят для чтения за завтраком, нежели итоги футбольных матчей».
Харди указывал на тот факт, что многие с удовольствием играют в шахматы или бридж, а ведь обе эти игры требуют математического мышления, между тем как другие с неменьшим наслаждением решают публикуемые в газетах головоломки. Если бы Харди писал в наши дни, он наверняка отметил бы популярность математических головоломок судоку.
В 2007 году произошел трогательный случай, показавший, что необязательно быть математиком, чтобы увлечься цифрами. (Почему трогательный? Поймете чуть позже.) Нью-йоркский пожарный по имени Бобби Беддиа рассказал своему другу, что прошлый день рождения стал для него особенным — он достиг возраста, который сам называл своим «годом рождения». Он имел в виду год, когда его возраст сравнялся с двумя последними цифрами года рождения. Беддиа родился в 1953 году, следовательно, 53 года ему стукнуло в 2006-м. Каждый может вычислить свой собственный «год рождения» — мой был 1984-й[29]. А вот кого собственный «год рождения» наверняка разочарует, так это тех, кто родился в 1900 или 2000 годах.
Как выяснилось, какой бы ни был на дворе год (за исключением 2000-го), на празднование своего «года рождения» имеют право люди двух возрастов с разницей в полвека. Так, в 2006 году наряду с 53-летними ровесниками Беддиа свой «год рождения» отмечали трехлетки, рожденные в 2003 году, которым в 2006-м соответственно стукнуло три года.
Как и многие аспекты теории чисел, «беддианский год», как нарек его один математик, начался с простого наблюдения, но впоследствии породил несколько интересных вопросов, на которые не всегда легко ответить. Вычислить свой беддианский год, исходя из года рождения, проще простого, но как, например, определить, в каком году родились те, чей беддианский год придется, скажем, на 2014-й? Американский математик Барри Сипра решил копнуть еще глубже и попытался вычислить для каждого года, люди какого возрастного диапазона в этот год могут носит звание добеддианцев, то есть еще не достигших своего беддианского года. Сипра пришел к выводу, что в каждом случае речь идет не об одном, а о двух возрастных промежутках. Взяв для рассмотрения 2007 год, Сипра обнаружил, что к этому времени своего беддианского года еще не достигли малыши от 0 до 3 лет, а также возрастная группа постарше — те, чей возраст лежит в границах между 8 и 53 годами. Для всех остальных: тех, кому от 4 до 7 лет, и тех, кому от 53 до 99, — беддианские годы уже миновали. Сложных математических вычислений тут не требуется, однако нужен некий навык умственного жонглирования фактами, а именно — двумя видами чисел, годами и возрастами, и тем обстоятельством, что жизни многих людей «оседлали» рубеж столетий.
Досконально изучив скрытые возможности беддианской теории, Сипра и сам удивился, как столь простое наблюдение смогло подкинуть ученым несколько весьма непростых задачек. К сожалению, Бобби Беддиа так никогда и не узнал о выводах, сделанных математиком из его открытия. За месяц до окончания своего беддианского года он погиб при тушении пожара в пустующем офисном здании неподалеку от того места, где до 11 сентября 2001 года располагались башни-близнецы Всемирного торгового центра.
Вот так совпадение!
Математика Джека Литлвуда[30] однажды попросили припомнить самое поразительное совпадение в его жизни. В ответ он написал:
«Одна девушка шла по лондонской улице Уолтон в гости к своей сестре, Флоренс Роуз Далтон, служившей в доме номер 42. Она миновала дом номер 40 и подошла к дому номер 42, где действительно работала кухарка по имени Флоренс Роуз Далтон (однако она уехала в двухнедельный отпуск, и на это время кухарку подменила ее сестра). Но то был дом номер 42 на площади Овингтон (в конце эта площадь сужается до размеров улицы). А дом 42 по улице Уолтон находился чуть дальше. (Я гостил в доме на площади Овингтон и услышал об этом курьезном происшествии в тот же вечер.)».
Многие из нас попадали в подобные ситуации или хотя бы слышали о них — волей-неволей поверишь, что в таком, казалось бы, случайном стечении обстоятельств кроется некий глубинный смысл. Однако испытываемое нами изумление зачастую связано с тем, что мы услышали только часть истории или ничего не знаем о такой вещи, как теория вероятности.
Обратимся к первому варианту. Допустим, некто звонит вам по телефону и правильно называет имя лошади, которая победит в предстоящем заезде. Проходит неделя, и этот человек снова звонит вам и опять угадывает победителя. Вас так и подмывает принять его предложение и вложить деньги в лошадь, которая победит на следующей неделе. Но что, если я расскажу вам, что еще до первых скачек, где участвовало десять лошадей, этот человек обзвонил сто человек и назвал имя каждой лошади группе из десяти человек? Во второй раз он позвонил уже только тем десятерым, которым в прошлый раз досталась лошадь-победительница, и назвал каждому по одной лошади из второго заезда. Одному человеку из сотни — то есть в данном случае вам — повезло, ему уже дважды правильно указывали победителя. Ничего удивительного, что вам сложно справиться с искушением и не поставить в третий раз все деньги на кон, хотя в действительности шанс «вашей» лошади на победу всего лишь один к десяти.
Одно из самых широко обсуждаемых «пугающих» совпадений связано с написанным в 1898 году романом «Гибель “Титана”». Книга повествует о корабле под названием «Титан», который во время своего первого рейса, в апреле, столкнулся с айсбергом и затонул. Четырнадцать лет спустя, в апреле, во время первого своего плавания из-за столкновения с айсбергом затонул «Титаник». Погибло 1500 человек, причем многие — из-за нехватки спасательных шлюпок. В книге при крушении «Титана» погибло около 3000 пассажиров и членов экипажа.
Это совпадение на практике куда более вероятно, чем может показаться. Предположим, вы живете в 1898 году и хотите написать полный драматизма роман о кораблекрушении. Вам понадобятся название судна, маршрут, причина катастрофы и еще несколько факторов — наподобие огромного количества жертв и всеобщего внимания к происходящему, — добавляющих рядовой аварии на водах накал страстей. Почти все точные детали из этого списка, позволяющие вымышленному судну «совпасть» с реальным «Титаником», — результат логического выбора. Для начала корабль должен быть большим, а значит, носить имя, отражающее внушительные размеры. Названия «Гаргантюа», «Гигант», «Колосс» и «Громадина» не очень-то «корабельные», а вот что-то из области мифологии, ну, не знаю, допустим, «Титан», вполне может подойти. Если это крупное судно с английскими и американскими пассажирами (автор рассчитывал завоевать англоязычный книжный рынок), то вряд ли оно будет курсировать по Тихому или Индийскому океанам, а вот трансатлантический рейс — самое то. А какова самая распространенная причина кораблекрушений в Атлантике? Айсберги. И в какое время года айсберги представляют наибольшую опасность? В апреле.
