Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Из этого выражения Бомбелли получил (как мы теперь пишем!) такие равенства:
Если вы возведете каждое из этих равенств в куб, пользуясь формулой сокращенного умножения, вам хорошо известной, вы убедитесь, что равенства эти справедливы. Поскольку искомый икс равняется сумме этих двух выражений, то мы получаем...
Илюша немедленно написал ответ:
х = (2 + i) + (2 - i) = 2 + 2 = 4.
- Выходит, - решил он, - что искомый корень представился в виде суммы двух сопряженных комплексных чисел, а эта сумма, как мы уж знаем, есть действительное число! Значит, оно только спряталось за мнимыми числами. Но ведь должны быть и другие корни? Их ведь два еще должно быть как будто? Как их найти? Один корень мы нашли, - рассуждал Илюша, - левая часть уравнения должна состоять из трех множителей.
- 438 -
Но из нашего решения ясно, что один из множителей будет равен
(x - 4);
значит, если я перенесу все члены нашего уравнения влево и разделю затем эту левую часть на этот одночлен, получится квадратное уравнение, а из него можно раздобыть остальные два корня:
(x3 - 15x - 4)/(x - 4) = x3 + 4x + 1
Илюша еще немного покопался с вычислениями и написал:
x1 = 4,000; x2 = -2 + √3; x3 = -2 - √3
или приближенно:
х2 = -0,268; х3 = -3,732.
- По теореме Виеты выходит. И сумма корней равна нулю! Попробую проверить значения корней. Для этого я буду придавать иксу целочисленные значения от минус шести до плюс шести и посмотрю, где кривая пересечет ось абсцисс.
Илюша так и сделал. Получилась табличка, а за ней и кривая, которую можно разглядеть на чертеже[38].
xx3-15xСвободный член
Сумма
-6
-5
4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-216
-125
- 64
- 27
- 8
- 1
0
+ 1
+ 8
+ 27
+ 64
+125
+216
+90
+75
+60
+45
+30
+15
0
-15
-30
-45
-60
-75
-90
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4
4
-4
-4
-4
-130
- 54
- 8
+ 14
+ 18
+ 10
- 4
- 18
- 26
- 22
0
+ 16
+122
- 439 -
- Ишь как хорошо вес выходит! - воскликнул Илюша, закончив табличку. - На четверке нуль...
- Сделаешь верно, и получается хорошо, - заметил Радикс.
- А те два других корня по чертежу тоже очень хорошо подходят. В порядке! И действительно, кривая три раза пересекает ось абсцисс.
- Как ей и положено, - закрепил Радикс. - Рафаэль Бомбелли был человек способный, ученый и даже удачливый: говорят, именно ему удалось разыскать на полках громадной Ватиканской библиотеки рукопись творений грека Диофанта Александрийского, с которых и началась теория чисел, высшая арифметика. Возможно, что Диофант в решении с Кардановой формулой навел Рафаэля Бомбелли на кое-какие полезные мысли.
Тут Радикс продекламировал такой стишок:
Вдоль по плоскости криваяОчень правильно бежит,Ось абсцисс пересекая,Где корням быть надлежит!
- Там, где быть им надлежит, там как раз и пробежит! - поддакнул Мнимий.
Радикс проговорил скороговоркой еще стишок:
Как-нибудь уж, в самом деле,Разберемся еле-елеИ рассмотрим все точь-в-точь,Если нам синьор Бомбелли Догадается помочь...
И все весело рассмеялись. А Мнимий добавил:
- Надо вам знать еще, что неожиданные и своеобразные разоблачения Бомбелли в те времена скорее привели в недоумение ученых, чем направили их: к новым исследованиям.
И когда через некоторое время Виета обнаружил, что "неприводимый" случай Кардана можно разрешить тригонометрическим путем (как решение задачи о трисекции угла), то это, наверно, показалось облегчением (впрочем арабские математики нашли это решение примерно еще за целый век до Виеты). Однако трудно сказать, имело ли это какое-нибудь значение, ибо замечательная работа Бомбелли в свое время не была напечатана, хотя была известна и ее изучали крупные ученые.
- 440 -
Любопытно, что в те времена были уверены, что Виета открыл что-то совершенно новое, хотя на самом деле в решении Виеты новыми были только подстановки.
- Но я не знаю, как у Виеты получилось с трисекцией угла и с тригонометрическим решением.
- Неужто? - удивился Радикс. - Так сейчас узнаешь!
Виета напал на счастливую мысль привлечь к вопросу о решении кубического уравнения тригонометрические функции. Мы как будто в прошлой схолии рассматривали, что получается, если возвести комплексное число в квадрат. Из этого примера ясно, кстати, что одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам действительных, ибо действительную и мнимую часть правой части равенства можно рассматривать по отдельности. Согласен?
. Илюша задумался.
- Кажется... да!
- Если так, то мы начнем с формулы для косинуса двойного угла. Так или нет? Помнишь?
- Так, как будто. И она будет:
cos 2α = cos2 α - sin2 α.
- Хорошо. Не спорю. А теперь перемножение комплексных чисел (единичных комплексных векторов) из предыдущей схолии повторим еще раз с тем отличием, что наши комплексные множители будут иметь разные аргументы, то есть разные углы. Что мы получим?
Илюша тотчас выполнил это умножение и получил.
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β.
- Ну, а теперь у нас есть все для того, чтобы на основании этих двух формул написать еще формулу для косинуса троекратного угла, то есть для cos Ba + а), или в результате cos Зα.
На этот раз Илюша не очень долго возился, но все-таки помучился. Радикс напомнил ему, что ведь "без труда и рыбку не вытащишь из пруда", а не то что косинус троекратный!
И наконец получилась вот какая формула:
cos Зα = 4 cos3 α - 3 cos α.
- Вот теперь все, что надо, у нас есть, и мы можем спокойно продолжать наши рассуждения. Попрошу вас только еще заменить cosa на х и написать в обычном для уравнения виде так, чтобы правая часть равнялась нулю, тогда как cos За будет у нас называться а.
- 441 -
Это задание было совсем уж простое, и Илюша написал.
4x3 - 3x - a = 0
- Так ведь это получилось кубическое уравнение и как раз такое, какое мы получали, когда уничтожили член с неизвестным во второй степени.
- Совершенно правильно! - отвечал Мнимий. - Представьте, эта же самая блестящая мысль пришла в голову и славному Франциску Виете! У вас, прямо скажу, был довольно способный предшественник!.. Теперь смотрите внимательно. Ведь из этого уравнения мы по данному углу можем найти угол в три раза меньший, а следовательно, перед нами способ для решения задачи древности - трисекции угла, или деления любого угла на три равные части. Заметьте: любого, ибо некоторые утлы, как, например, прямой угол, делятся на три части очень просто, циркулем и линейкой. Правда, обычно берут не косинус, а синус, но перейти от того к другому не так трудно. А в общем, получается доступный способ для решения кубического уравнения, вернее, одного из его видов. Вот какие разнообразные выводы получаются при рассмотрении решения кубического уравнения. При этом очень важно еще и то, что решение Виеты как раз и есть то самое, которое разъясняет этот трудный случай, когда действительные корни скрываются под личиной мнимых (этот случай, как мы уж говорили, Кардан называл "неприводимым"). И отсюда Виета вывел, что либо кубическое уравнение получается наподобие двух пропорциональных (как при двоекубии!), и тогда у него только один действительный корень, либо они сводятся к трисекции угла, и тогда все три корня действительные. Входить в большие подробности я не буду; скажу только, что этим тригонометрическим способом Виеты можно пользоваться именно тогда, когда под квадратными корнями в формуле Кардана стоят отрицательные числа. В таком случае свободный член уравнения q можно выразить через синус некоторого троекратного угла, а затем, пользуясь тригонометрическими таблицами, без особого труда найти и самые корни. Все это, разумеется, на практике не очень удобно, но тут смысл не в том, чтобы добиться решения кубического уравнения (которое с помощью методов высшего анализа находится скорей и проще), а в том, чтобы рассудить о сути соотношений в алгебраических вопросах.
- Хорошо! - сказал Илюша. - Конечно, все это не очень легко... Но все-таки интересно, когда такую историю с разными алгебраическими чудесами разберешь подробно. Только вот еще что: ведь у древних был уже способ трисекции угла?
- 442 -
Невсис Паппа.
DE = 2AB
FH || АС
АН = НЕ
- Да, - отвечал Радикс, - такой способ был, даже не один. Интересен способ так называемого невсиса, или способ "линейки с двумя метками", с которым мы познакомились уже в Схолии Пятой, способ полезный и чрезвычайно поучительный. Архимед в своих трудах нередко пользуется этим способом. И в древности были такие чудаки, которые его за это поругивали! На линейке можно поставить две метки, а вообще при построениях циркулем и линейкой линейка служила только для того, чтобы провести прямую! И этих меток уже вполне достаточно, чтобы получить возможность решать кубическое уравнение. Вот как решает этим способом Папп Александрит задачу на трисекцию. На нашем чертеже дан угол ABC, который надо разделить на три части. Пусть AC _|_ ВС; проведем через А прямую АЕ, параллельную ВС, возьмем отрезок, который, как мы уже знаем, будет вдвое больше АВ (для этого-то и нужны отметки на линейке!), так, чтобы его левый конец D лежал на АС, правый, то есть точка Е, на АЕ, а продолжение его проходило бы через точку В.
