Флатландия. Сферландия - Эдвин Эбботт
Даже если бы кто-нибудь объяснил обитателю двумерного мира, что трехмерное существо, двигаясь вдоль третьего измерения, могло бы проникнуть в накрепко запертый амбар и похитить все, что там хранится, не открывая ни одной двери и не взламывая стен, или прикоснуться к сердцу жителя книжной страницы, то и тогда третье измерение не стало бы понятнее обитателю плоского мира. Мы также не можем представить себе, в каком направлении должен двигаться четырехмерный грабитель, для того чтобы похитить сокровища из самого надежного сейфа, или путь, по которому четырехмерный врач сможет прикоснуться к самой сокровенной части человеческого сердца, не прорезая при этом ни кожи, ни даже стенки сердца. И все же маршруты и грабителя, и врача лежат вдоль четвертого измерения. Следуя такому маршруту, четырехмерное существо могло бы извлечь содержимое куриного яйца, не нарушив целостности скорлупы, или опустошить бутылку ликера, даже не потрудившись извлечь из нее пробку. Если бы такие четырехмерные существа обитали в пространстве, содержащем наше трехмерное пространство, то нам бы они казались «искуснейшими из духов». Отсутствие подобных духов свидетельствует о том, что четырехмерный мир, который бы содержал наше пространство и был населен столь причудливыми обитателями, в природе не существует.
Алгебра требует, чтобы геометрия помогла ей найти наглядное выражение для любой изучаемой ею задачи. А поскольку в алгебраической задаче могут встречаться четыре, пять или большее число неизвестных, как, впрочем, и любое меньшее их число, то алгебра настоятельно требует рассмотрения пространств, размерность которых равна четырем, пяти, а также любым другим числам, как большим, так и меньшим. Вероятно, понятие четвертого измерения позволит найти объяснение некоторым физическим явлениям. Вместе с тем следует сознавать, что пространство четырех измерений, так же как и пространство более высокого числа измерений, представляет собой лишь фиктивные геометрические образы, соответствующие тем или иным алгебраическим величинам.
Перси У. Гумаер
Правда и ложь о теории четвертого измерения
Нередко теория, развитая из самых лучших побуждений каким-либо выдающимся авторитетом, приобретает дурную славу, ибо становится достоянием невежественных людей, которые приспосабливают ее или даже обобщают для своих собственных целей, далеких от первоначальных намерений ее создателя. Печальной жертвой превратностей судьбы такого рода стала теория четвертого измерения.
Идея четвертого измерения появилась как чисто математическое понятие, позволяющее значительно упростить рассуждения, но не допускающее наглядной интерпретации. Аналогию с понятием четвертого измерения можно усмотреть в использовании отрицательных чисел. Всякий, кому приходилось вычитать из числа 3 число 7 и получать −4, знает, как следует понимать полученный результат. Однако никому и в голову не придет, будто полученный ответ означает, что в действительности могут существовать отрицательные количества предметов. Нетрудно понять, что если в саду росло четыре дерева и спилили четыре из них, то ни одного дерева не стало, но никто не станет представлять себе наглядно минус четыре дерева, ибо даже мысленно мы можем представить себе лишь такие величины, которые получаются в результате пересчета реально существующих предметов. Однако отсутствие опыта не мешает нам вводить отрицательные числа как средство, позволяющее упростить вычисление. Идея четвертого измерения позволяет аналогичным образом упростить многие математические рассуждения, хотя из нее и не следует, будто четырехмерное пространство действительно существует.
Математические рассуждения позволили нам узнать многие свойства четырехмерного пространства. Иногда эти свойства используют для объяснения спиритических явлений, утверждая, будто четырехмерное пространство населяют духи, которых мы, человеческие существа, живущие в пространстве трех измерений, неспособны воспринимать, если только духи не соблаговолят спуститься в наше пространство. Свое утверждение обоснователи спиритизма пытаются доказать, ссылаясь на геометрические свойства четырехмерного пространства. Столь неожиданное расширение математического понятия создало у непосвященного читателя весьма превратное представление о четвертом измерении, и мы сейчас хотим провести грань между теорией четвертого измерения, развитой математиками и имеющей полное право называться научной теорией, и-тем, что известно под названием четвертого измерения и используется для обоснования спиритизма.
Наглядные геометрические изображения широко используются в науке и других областях человеческой деятельности. Чертежи и фотографии находят широкое применение в технике. Ни один архитектор не приступит к возведению здания, не составив предварительно его чертежи. В математике возможность наглядно представить кривую, описываемую алгебраическим уравнением, также намного упрощает рассуждения.
До Декарта алгебру и геометрию считали различными математическими дисциплинами, никак не связанными между собой. Однако Декарт обнаружил, что алгебраические уравнения с двумя и тремя неизвестными удобно изображать в виде геометрических фигур. Рассмотрим метод Декарта на простом примере. Из элементарной алгебры известно, что в одном уравнении с двумя неизвестными, например в уравнении у = x² − 2х + 2, переменной x мы можем придавать любые значения. Подставив выбранное нами значение x в уравнение, мы найдем соответствующее ему значение неизвестной у. Например, если x = 1, то у = 1. Нетрудно проверить, что пары значений x = 2, у = 2; x = 3, у = 5; x = 4, у = 10; x = 5, у = 17 и т. д. также удовлетворяют уравнению. Чтобы представить себе уравнение у = x² − 2x + 2 наглядно, проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Эти прямые называются осями координат. От точки пересечения осей вдоль оси мы будем откладывать расстояния, равные в соответствующих единицах интересующему нас значению x, а по другой оси — расстояния, равные в соответствующих единицах значениям у. На рис. 1 правые концы отрезков, отложенных по оси x, обозначены буквами а, b, с, d и e, а верхние концы отрезков, отложенные вдоль оси у, — буквами а', b', с', d' и e'. Точки (а, а'), (b, b'), (с, с'), (d, d') и (е, е') называются точками кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2. Придавая переменной x значения, отстоящие друг от друга на сколь угодно малую величину, мы сможем нарисовать довольно подробный «портрет» нашей кривой. На рис. 2 показан отрезок кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2, который соответствует значениям x, заключенным в интервале от 0 до 5.
Рис. 1.
Возможно, что кому-нибудь график кривой покажется столь же мало понятным, как и описывающие кривую уравнения. Неспециалист, взглянув на чертеж, изображающий какой-нибудь предмет, увидит лишь хаотическое переплетение линий, в то время как опытному чертежнику или механику достаточно одного взгляда на чертеж, чтобы получить полное представление
