Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Следовательно, когда человек нашел эту кривую, он сделал открытие- он нашел формулировку важного закона Природы.
А обстоятельство, что сама кривая (у Аполлония Пергейского в древности) была найдена путем геометрического рассуждения, умозрительно, и только потом (у Галилея) приняла характер закона Природы, значения не имеет. Одно только можно вывести из этого поучительного сопоставления, что логическое развитие (и расширение) математических образов и истин потому и ведет к открытию орудий математического естествознания, что даже самые первые положения математики непосредственно возникли из человеческого опыта и размышлений над результатами этого многообразного опыта.
- Вот и опять получается, - заявил Илюша, - что математика - это опытная наука...
- ... опирающаяся в своих построениях на здравый человеческий рассудок, на логику, - добавил Радикс, - и постоянно проверяющая своп построения на решениях практических задач. Когда-то Аристотель учил, что человеку нужна свобода, но не просто свобода, а обдуманная свобода, разумная, такая, которая ведет к полезным результатам. И вот, обдумывая свои удачные и полезные действия, человек и находит математические орудия, которыми он покоряет Природу.
- 424 -
Вот примерно как! Конечно, что ни дальше, тем оно становится сложнее, но, как говорится, чем дальше в лес, тем больше дров! Ну, следует еще отметить, что летит тело по параболе только в пустоте, то есть при отсутствии сопротивления воздуха, в полном безветрии, а иначе получается хотя и близкая к параболе кривая, но все-таки не парабола. Хотя все математические образы, которые мы в рассуждениях считаем абсолютно точными, на практике не могут иметь такую неограниченную точность, однако самое важное и самое основное в явлении они выявляют с большой силой.
Внезапно откуда-то донесся знакомый мелодичный свист древних флейточек, раздался легкий топот маленьких копытец, и голос небезызвестного Илюше Фавна лукаво произнес:
- А камушки? Морские камушки?
- Что такое? - вопросил Радикс. - Какие это камушки?
- Ах да! - воскликнул мальчик. - Морские камушки, обкатанные волнами, как трехосный эллипсоид!
- Верно! - подтвердил Радикс. - Вот тебе и еще пример довольно сложного геометрического тела, который сооружает сама природа.
- В общем, ясно! - примирительно заявил Мнимий. - И я предлагаю, приняв в общем выводы моего почтенного папаши к сведению и руководству, перейти к нашим очередным делам. Мне хотелось бы обратить ваше внимание на ряд особо значительных фактов из истории нашей науки. Хотите ли вы меня выслушать?
- Очень даже! - отвечал Илюша. - Когда вы мне все здесь рассказываете о развитии нашей науки от древности и чуть ли не до наших дней, то выходит более понятно...
- Хорошо, - заметил Мнимий, - насчет "чуть ли не до наших дней" - это немножко, пожалуй, слишком, ибо "наши дни" в математике - это уж очень трудно! Но кое-что наметить можно[36]. Только вы слушайте внимательно и сейчас же переспрашивайте без стеснения, как только почувствуете, что теряете нить моего рассказа. Согласны?
- Вполне!
- Итак, надо отметить, что в науке время от времени бывают некоторые нежданно разительные перемены. То есть если рассуждать впоследствии, то поймешь, что они не такие уж "нежданные", а, наоборот, подготовлялись издалека, хотя самое решение вопроса сперва кажется совершенно неожиданным. Понимаете вы меня?
Тут уж Илюше пришлось признаться, что он не очень понимает, о чем идет речь.
- Ну вот, - сказал, задумываясь чуть не на каждом слове, Мнимий, - возьмем алгебру. Самую обыкновенную, которую вы в школе учите. Это просто буквенное исчисление, не так ли? А ведь всякий ученик прекрасно знает, какое это облегчение для решения задач.
- 425 -
- Конечно, - согласился Илюша, - алгебраически решать задачи гораздо проще, чем с арифметикой возиться!
- Согласен! Но давайте разберем, как это случилось.
Ведь всякий замечал, что много есть на свете задач очень друг на друга похожих, то есть, как говорится, задач одного типа. Вот на этом-то наблюдении и родилась алгебра. Надо было еще получить некоторый толчок - догадаться, что вместо чисел можно употреблять буквы. Новое в науке родится путем наблюдения над своей собственной работой - то есть над решением разных задач, - а затем путем выводов из этих наблюдений. И, наконец, путем построения такого общего способа (или метода), который помог бы нам воспользоваться тем, что мы нашли наблюдением, а метод этот и был буквенным исчислением.
- А он откуда взялся?
- Он был в зачатках еще у египтян и у греков. Затем индусы, а за ними арабы заметили, что способы решать арифметические задачи могут быть сведены к нескольким типам - ну, хотя бы к уравнениям с одним неизвестным, - и описали это словесно. Возникла так называемая риторическая алгебра, не очень, конечно, удобная, но все-таки более совершенная по сравнению с простой арифметикой[37]. А уж потом пришли и буквы, но путь им был расчищен при помощи риторической алгебры.
- Значит, так, - решил Илюша, - сперва мы наблюдаем, замечаем важные особенности при пользовании старыми способами, а затем на основании этих наблюдений и рассуждений уже строится новая наука, то есть новый ее раздел.
- Правильно, - согласился Мнимий, - такие весьма важные перемены и бывают, как я выразился, "нежданно разительными". Такие нововведения, обобщающие большой опыт, дают огромные результаты и сразу двигают науку вперед.
Проходит несколько десятилетий - и науку уже узнать нельзя, так быстро она развивается на новом рубеже. Арабы построили алгебру, ее узнали в Европе, а затем сразу раздаются мощные голоса Виеты и Декарта. И вот уже та алгебра, которую вы учите в школе, построена. И все становится иным, появляются возможности строить еще нечто совершенно новое.
- А когда это случилось?
- Арабская алгебра родилась примерно в восьмом или девятом веках, а распространять ее в Европе стали примерно с двенадцатого века. Я имею в виду славного Ал-Хорезми.
- 426 -
Прибор Платона.
В это же время появляются сочинения европейцев, уже освоивших алгебру. В начале шестнадцатого века все это было в Европе освоено, развито и вот тут-то Европа встает на новый путь развития. Сочинения Архимеда и Аполлония переведены и напечатаны. Начинаются новые труды. Они как бы вмещают все, что Европа унаследовала от арабов (а стало быть, и от индийцев) и от Древней Греции. И теперь начинаются плодотворнейшие труды по объединению того и другого. Если труды европейцев, которые привели к интегральному и дифференциальному исчислению, были завершением ТРУДОВ древних, шедших в том же направлении, то с шестнадцатого века началось еще одно движение: новые достижения риторической алгебры были впервые успешно применены к решению алгебраических уравнений высших степеней, например кубических.
- А раньше их совсем не умели решать? - спросил Илюша,
- 427 -
Одна средняя пропорциональная и один прямой угол.
- Опыты и частные решения были. Мы вам рассказывали о способе Двух средних пропорциональных и о способе Менехма (в Схолии Пятнадцатой - способ двух парабол). Но все это были геометрические способы, которые не обладали общностью, то есть не могли быть применены для решения любой задачи, которая приводит к кубическому уравнению.
- Мы рассматривали, кажется, тогда, - заметил Илюша, - пропорцию Гиппократа:
а : х = х : у = у : b
и ее алгебраическое решение, а как греки решали, мы как будто не говорили.
- Ну что ж, - сказал Радикс, - можно и это припомнить.
Для решения этой задачи - для удвоения куба - можно пользоваться так называемым "прибором Платона", который легко представить тебе в виде двух плотничьих наугольников, то есть деревянных прямых углов, как бы прямоугольных треугольников без гипотенузы. Начинаем с чертежа, где изображены две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Затем берутся два угольника и прикладываются друг к другу так, чтобы они образовывали два прямых угла. Нетрудно рассудить, что если даны длины отрезков а и b, то из двойной пропорции Гиппократа, которую я только что привел, можно получить:
х3 = a2b; у3 = ab2;
и, положивши b = 2а, получаем:
Все это так сложно формулируется потому, что у Евклида в его Началах (книга IX) степени - квадраты, кубы и так далее - так и вводятся, через пропорции, и опираются на известные свойства геометрической прогрессии:
1, x, x2, x3, 4 ... xn
- 428 -
где ясно, что каждый член является средней геометрической между двумя своими соседями справа и слева, как например:
х2 = √(х • x3 )
а четыре последовательных члена связаны двойной непрерывной пропорцией:
1 : х = х : х2 = х2 : х3,
которой и пользуется Гиппократ. Теперь возвращаюсь к построению: циркуль дает одну среднюю пропорциональную, которую мы разбирали в Схолии Пятнадцатой, тогда как два прямых угла действуют словно два объединившихся циркуля, они дают нам разом две средних, как это ясно из другого чертежа. Прямой угол мы всегда можем себе представить опирающимся на диаметр некоторой окружности, не так ли?.. А если у нас имеются два прямых угла, причем их всегда можно сдвигать и раздвигать так, что эти диаметры воображаемых окружностей могут изменяться (и при этом независимо друг от друга), то мы получаем особый прибор вроде двоякого циркуля, который может дать нам сразу две средние пропорциональные, те самые, которые требуются для пропорции Гиппократа.
